特征几何与投资组合选择

Characteristic Geometry and Portfolio Choice

收益预测几乎相同的两个因子模型，为什么会持有不同的投资组合；只用因子部分构建的组合又漏掉了什么。

作者

单位

刘明杨（Mingyang Liu）

帝国理工学院商学院

版本

2026年9月

幻灯片（PDF，英文） · 论文稿件撰写中 · BibTeX

工作论文 · 2026 年 9 月 · 尚未公开发布，暂无 DOI · 正文中的所有数字均可在上方幻灯片中找到（图 3 中的表格取自论文研究发布包）

两个因子模型对股票收益的预测相差仅约百万分之五，由此构建的投资组合却明显不同。以相似度衡量（1 表示两组合配置比例完全相同，0 表示毫无重合），典型月份只有 0.83（幻灯片第 9 页）。两个模型只是所用的尺子不同。差异来自组合规则里的一个固定“安全常数”：为了数值稳定，规则给每个因子的风险都加上这个小常数，论文称之为岭项。它写在尺子的单位里，尺子一换，同一个数压低的就是不同的个股头寸。只删去这个常数，两个组合就几乎一样（幻灯片第 11 页）。

组合需要两项输入：风险惩罚和收益预测。第一项结果涉及风险惩罚，第二项转向收益预测。只用因子的规则，只采用预期收益中能由因子解释的那部分。在同一个拟合模型内，把没有被任何因子解释的部分（截距）也用上，594 个月的夏普比率（每单位波动的平均收益，未计交易成本）由 0.39 升至 2.51（幻灯片第 14 页）。2007 年 10 月以来，用上截距带来的平均收益增益估计并不精确（幻灯片第 15 页）。

1 研究问题

在整个研究主线中，本文回答的是：预测相同，组合为何不同？《解读定价误差》关注的是模型的阿尔法；本文从解读模型走向依据模型行动：预测不变时，尺子还能改变投资组合吗？随后，《特征库》把同样的问题推到特征库的写法上。

两个因子模型的预测几乎相同，只是用不同的尺子衡量暴露，它们会让投资者持有同样的股票吗？把模型的截距也用上，又能多带来什么？

要说清一只股票的预期收益有多少归功于哪个驱动因素，模型得先判断两个特征方向是否真的不同、各自有多大。做这个判断的规则，就是尺子。给每个特征一个权重再相加，每只股票就得到一个分数；这样的加权组合称为特征方向（它不是投资组合）。股票在某个特征方向上的得分，或随某个因子变动的强弱，就是它的暴露。普通尺子（欧氏度量）只看方向的权重本身；特征尺子（格拉姆度量）则看这个方向给真实股票打出的分数：分数通常有多大，两个方向的分数在股票之间是否同高同低。换句话说，尺子是模型用来衡量一个特征方向有多大、两个特征方向重叠多少的规则。两个价值信号若总是选中同一批便宜的股票，特征尺子会把它们算作重叠，普通尺子却把它们当作互不相关。

本文比较同一因子模型分别估计的两个版本，它们只在尺子上不同。工具化主成分分析（IPCA）是一种标准因子模型，由特征决定每只股票随共同驱动因素变动的强弱 (Kelly 等 2019)；它用普通尺子，QZ-IPCA 则用特征尺子。第三个模型是无套利 IPCA（NA-IPCA），同样用特征尺子，并加入截距，即本模型中没有被任何因子解释的那部分预期收益（与首页所说的“阿尔法”相近，但阿尔法是相对于某个指定基准模型而言的）。名称中的“无套利”指截距可承载内容的上限；在所有存档窗口中，这一上限从未起作用（幻灯片第 4、13 页）。

2 为什么重要

学界通常以预测好坏来比较因子模型，但投资者持有的是组合。组合要经过风险模型才能建成，而风险模型有自己的单位和设定。如果这些约定本身就能改变持仓，基金经理换了风险模型、看到新的头寸，就可能误以为出现了新信号，其实预测并没有变。

经济含义。 只看预测精度，会漏掉风险模型设定改变持仓的这一渠道。只用因子部分的组合还丢掉了截距：按未计交易成本的收益衡量，截距有其价值（幻灯片第 14 页）。
实务含义。 一项看似只为数值稳定而设的参数（每个因子风险上加 0.01），实际上成了对因子暴露的一种偏好，会改变组合规则对每个因子的持有量。弄清这一点，基金经理就知道：在把持仓变化读作信号之前，应当固定哪项设定，或让它随尺子的单位换算（幻灯片第 10、30 页）。
统计含义。 132 个特征之间高度重叠：它们的变动大致相当于 20 个同等大小的变动方向（参与维数中位数为 19.8），所以怎样衡量重叠是一项实质性的建模选择（幻灯片第 7 页）。

附注：本文尺子的逐月统计量。本文所用特征尺子的指数加权移动平均（EWMA）版本在 618 个月中逐月重新估计。其参与维数（本文的特征大致相当于多少个同等大小的变动方向）介于 17.36 至 22.63。中位数为 19.8。变动最大的方向所占份额介于 11.76% 至 15.21%（幻灯片第 7、23 页）。数据：论文研究发布包（未公开）中的 rolling_geometry.csv。首页图 1 是基于 153 个特征库的另一项描述性展示，并非取自本文。文件与流程见数据与代码。

3 论证脉络

问题。 投资者持有的是组合而不是预测，所以比较模型必须一直追到持仓。→ 研究问题
框架。 匹配地换尺子只是换一种方式表达同一个拟合；IPCA 与 QZ-IPCA 的预测通常只差约百万分之五（幻灯片第 9、10、30 页）。→ 理论框架
机制。 组合规则加在每个因子风险上的固定岭项（0.01）写在尺子的单位里，尺子一换，同一个数压低的就是不同的个股头寸。→ 一个简单例子
证据。 所以预测几乎相同的两个模型，持仓并不相同（权重相似度 0.83；1 表示完全相同）。→ 研究设计与主要结果
检验。 只删去这一常数，未缩放权重的差距就从 61% 缩小到约百万分之四；补救办法是让它随单位一起换算。→ 研究设计与主要结果
第二项结果。 在同一拟合内打开截距，594 个月的夏普比率（未计交易成本）由 0.39 升至 2.51。→ 研究设计与主要结果
边界。 因此应当把预测、风险惩罚和预期收益输入分开比较。边界是：收益未计交易成本；删去岭项是机制检验而非业绩检验；未证明截距是错误定价；2007 年后的平均收益增益估计并不精确；也没有证明哪把尺子最好。→ 适用范围

4 理论框架

组合规则在某个因子的预测相对其估计风险较高时，就多持有这个因子。为了数值稳定，它给每个因子的风险加上一个小常数（0.01，即岭项），让规则对每个因子都少持有一点。这个常数写在尺子的单位里，所以换尺子就改变了每个个股头寸被压低的程度（幻灯片第 10 页）。

在特征尺子下，两个特征方向只有在给股票打出的分数平均而言互不同步（即两者乘积在股票之间的平均为零）时，才算互不相关（幻灯片第 5 页）。换尺子是一次匹配的单位换算：预测和加岭项之前的个股风险都不变。载荷（股票随某个因子变动的强弱）被重新缩放，重叠部分则在潜在因子（模型从数据中推断的共同驱动因素）、法玛–弗伦奇可观测因子与截距之间挪动（幻灯片第 6、10、30 页）。在组合规则的各项输入中，只有岭项收费会变：把某个因子放大一倍、载荷减半，岭项对这一方向的收费就降为四分之一（幻灯片第 10 页）。一般理论见《特征空间度量》 (Liu 2026)。

技术细节

模型把股票 i 下月的超额收益写成（幻灯片第 4 页）：

r_{i,s+1} = z_{i,s}'\Gamma_\beta f_{s+1} + z_{i,s}'\Gamma_\delta g_{s+1} + z_{i,s}'\Gamma_\alpha + \varepsilon_{i,s+1}.

其中 z_{i,s} 为 132 个特征，f 为三个潜在因子，g 为法玛–弗伦奇五因子，各个 \Gamma 把特征映射为载荷。特征尺子是估计窗口内各特征两两乘积在股票之间的平均（幻灯片第 6 页）。NA-IPCA 为截距可承载的内容设上限 \Gamma_\alpha' Q\,\Gamma_\alpha \le 0.035，这一上限在所有存档窗口中都不起作用（幻灯片第 13 页）。

组合规则选择权重 w，以求解（幻灯片第 8、10 页）

\max_w \; w'\hat\mu \;-\; \tfrac12\, w'A_0\, w \;-\; \tfrac{\lambda_F}{2}\,\lVert B'w\rVert^2 ,

其中 \hat\mu 为预测收益，A_0 为去掉因子岭项后的风险矩阵，B'w 为组合在各因子上的载荷，\lambda_F = 0.01。在匹配的单位换算下，只有最后一项会变，因为它按各因子自身的单位对载荷收费。让岭项随单位换算，即 R_F^* = C R_F C'，个股层面的惩罚便保持不变（幻灯片第 10、30 页）。

5 一个简单例子

试一试。 这里，k 决定尺子的单位：k = 2 表示把因子放大一倍、把股票载荷减半，预测保持不变（幻灯片第 10 页）。（1）k = 1 时，两只股票各占一半。（2）把 k 拖到 2：表中第 1、2 行不动，只有第 3 行的岭项收费从 0.0100 降到 0.0025，因为载荷减半，而收费按载荷的平方计算；股票 1 的占比随之升到 54%。（3）把 k 拖到 0.25：收费增至原来的 16 倍，股票 1 的占比降到 20%。（4）选择“让岭项随单位换算”：圆点移到虚线上，无论 k 取何值都是 50%；选择“去掉因子岭项”，这里同样是 50%。请留意：股票本身什么都没变，变的只是一个固定常数按什么单位收费。

图 1：预测相同、风险相同，岭项收费却不同。两只股票；只改变因子 1 的单位，其余一概不变。

palette = ({
  naipca_iab: "#18557f", complete: "#18557f",
  qz_ipca: "#8a6a1a",
  ipca: "#6f9cc0", rp_pca: "#7a7a7a", ff5: "#b3b3b3",
  naipca_beta_only: "#8a8378", beta_only: "#8a8378",
  band: "rgba(0,0,0,0.06)", muted: "rgba(0,0,0,0.6)", rule: "rgba(0,0,0,0.1)"
})
LANG = (document.documentElement.lang || "en").startsWith("zh") ? "zh" : "en"
STR = ({ en: { view: "View", cost: "Cost (bp per traded dollar)", universe: "Universe", sample: "Sample (months)", log: "Log scale", models: "Models", statistic: "Statistic", theme: "Theme", sort: "Sort by", method: "Method", scenario: "Scenario", block: "Block (months)", metric: "Metric", intervals: "Intervals", cost_bp: "One-way cost (bp)", failed: "Interactive data failed to load. The static figure is shown instead." },
        zh: { view: "视图", cost: "成本（每交易一美元，基点）", universe: "股票池", sample: "样本（月）", log: "对数坐标", models: "模型", statistic: "统计量", theme: "主题", sort: "排序", method: "方法", scenario: "情景", block: "块长（月）", metric: "指标", intervals: "区间", cost_bp: "单边成本（基点）", failed: "交互数据加载失败，改为显示静态图。" } })
t = (k) => STR[LANG][k] ?? STR.en[k] ?? k
fmt2 = (x) => (x == null || Number.isNaN(x)) ? "n/a" : x.toFixed(2)
fmt1 = (x) => (x == null || Number.isNaN(x)) ? "n/a" : x.toFixed(1)
fmtBp = (x) => (x == null || Number.isNaN(x)) ? "> 500" : `${Math.round(x)} bp`
parseMonth = (s) => new Date(`${s}-01T00:00:00Z`)
// Sharpe, annualised, sample std (ddof = 1): matches the release convention
sharpe = (r) => {
  const n = r.length, m = r.reduce((a, b) => a + b, 0) / n
  const v = r.reduce((a, b) => a + (b - m) ** 2, 0) / (n - 1)
  const vol = Math.sqrt(v) * Math.sqrt(12)
  return vol > 1e-12 ? (m * 12) / vol : NaN
}
netSeries = (r, to, bp) => r.map((x, i) => x - to[i] * bp / 1e4)
wealthPath = (r) => { let w = 1; return r.map((x) => (w *= 1 + x)) }
nberMarks = (nber) => Plot.rectX(nber, { x1: (d) => parseMonth(d.start), x2: (d) => parseMonth(d.end), fill: palette.band })

cg_toy_S = LANG === "zh" ? ({
  k: "尺子的单位 k",
  mode: "因子岭项",
  fixed: "固定为 0.01（现行规则）",
  convert: "让岭项随单位换算",
  remove: "去掉因子岭项",
  lineFixed: "现行规则的结果（实线）",
  lineRemedy: "论文提出的补救（虚线）",
  xLabel: "尺子的单位 k（对数坐标）",
  yLabel: "股票 1 在组合中的占比（%）",
  aria: "示意图：因子 1 的单位改变时，股票 1 在两只股票组合中的占比",
  ariaDesc: "岭项固定时，k 从 0.25 增至 8，股票 1 的占比从 20% 升至约 55%；岭项随单位换算或被去掉时，占比始终为 50%。",
  qty: "项目", base: "原始单位（k = 1）", now: (k) => `当前（k = ${k}）`,
  r1: "股票 1 的预测收益（载荷 × 因子均值）",
  r2: "股票 1 的因子风险（载荷² × 因子方差）",
  r3: "岭项收费（载荷² × 岭项）",
  r4: "股票 1 的未缩放权重",
  r5: "股票 2 的未缩放权重（单位不变）",
  r6: "股票 1 的占比（头寸缩放至多空头寸总规模为 1 后）"
}) : ({
  k: "Ruler's unit k",
  mode: "Factor ridge",
  fixed: "Fixed at 0.01 (implemented rule)",
  convert: "Convert the ridge with the units",
  remove: "Remove the factor ridge",
  lineFixed: "What the implemented rule does (solid)",
  lineRemedy: "The paper's remedy (dashed)",
  xLabel: "Ruler's unit k (log axis)",
  yLabel: "Stock 1's share of the portfolio (%)",
  aria: "Illustrative example: share of stock 1 in a two-stock portfolio as the units of factor 1 change",
  ariaDesc: "With the ridge fixed, stock 1's share rises from 20% to about 55% as k grows from 0.25 to 8. With the ridge converted with the units, or removed, the share stays at 50%.",
  qty: "Toy quantity", base: "Original units (k = 1)", now: (k) => `Now (k = ${k})`,
  r1: "Stock 1's forecast (loading × factor mean)",
  r2: "Stock 1's factor risk (loading² × factor variance)",
  r3: "Ridge charge (loading² × ridge)",
  r4: "Stock 1's unscaled weight",
  r5: "Stock 2's unscaled weight (units unchanged)",
  r6: "Stock 1's share (positions scaled to a total size of one)"
})
viewof cg_toy_k = Inputs.range([0.25, 8], { value: 1, step: 0.05, label: cg_toy_S.k })

viewof cg_toy_transport = Inputs.radio(new Map([[cg_toy_S.fixed, "fixed"], [cg_toy_S.convert, "convert"], [cg_toy_S.remove, "remove"]]), { label: cg_toy_S.mode, value: "fixed" })

cg_toy_calc = (k, mode) => {
  const loading = 1 / k, mean = 0.01 * k, varf = 0.02 * k * k
  const ridge = mode === "convert" ? 0.01 * k * k : mode === "remove" ? 0 : 0.01
  const ridge2 = mode === "remove" ? 0 : 0.01
  const forecast = loading * mean, risk = loading * loading * varf, charge = loading * loading * ridge
  const w1 = forecast / (risk + charge + 0.01 + 0.01)
  const w2 = 0.01 / (0.02 + ridge2 + 0.01 + 0.01)
  return { k, loading, mean, varf, ridge, forecast, risk, charge, w1, w2, share: w1 / (w1 + w2) }
}
cg_toy_now = cg_toy_calc(cg_toy_k, cg_toy_transport)
cg_toy_grid = d3.range(0, 1.0001, 0.01).map((u) => 0.25 * Math.pow(32, u))
cg_toy_lines = ["fixed", "convert"].flatMap((mode) => cg_toy_grid.map((k) => ({
  k, share: 100 * cg_toy_calc(k, mode).share, mode,
  rule: mode === "fixed" ? cg_toy_S.lineFixed : cg_toy_S.lineRemedy
})))

cg_toy_chart = Plot.plot({
  width: Math.min(width, 640), height: 280, marginLeft: 52, marginBottom: 40, style: { fontFamily: "inherit", fontSize: 12 },
  ariaLabel: cg_toy_S.aria,
  ariaDescription: cg_toy_S.ariaDesc,
  x: { type: "log", domain: [0.25, 8], ticks: [0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8], tickFormat: (d) => `${d}`, label: cg_toy_S.xLabel },
  y: { domain: [15, 60], grid: true, label: cg_toy_S.yLabel },
  color: { domain: [cg_toy_S.lineFixed, cg_toy_S.lineRemedy], range: [palette.complete, palette.qz_ipca], legend: true },
  marks: [
    Plot.ruleY([50], { stroke: palette.rule }),
    Plot.ruleX([1], { stroke: palette.rule }),
    Plot.lineY(cg_toy_lines.filter((d) => d.mode === "fixed"), { x: "k", y: "share", stroke: "rule", strokeWidth: 2 }),
    Plot.lineY(cg_toy_lines.filter((d) => d.mode === "convert"), { x: "k", y: "share", stroke: "rule", strokeWidth: 2, strokeDasharray: "5 4" }),
    Plot.dot([cg_toy_now], { x: "k", y: (d) => 100 * d.share, r: 6, fill: cg_toy_transport === "fixed" ? palette.complete : palette.qz_ipca, stroke: "white" }),
    Plot.text([cg_toy_now], { x: "k", y: (d) => 100 * d.share, text: (d) => `${(100 * d.share).toFixed(1)}%`, dy: -14, fontWeight: 600 })
  ]
})

cg_toy_table = {
  const base = cg_toy_calc(1, "fixed"), now = cg_toy_now
  const f = (x, d = 4) => x.toFixed(d)
  const S = cg_toy_S
  const rows = [
    [S.r1, f(base.forecast), f(now.forecast)],
    [S.r2, f(base.risk), f(now.risk)],
    [S.r3, f(base.charge), f(now.charge)],
    [S.r4, f(base.w1, 3), f(now.w1, 3)],
    [S.r5, f(base.w2, 3), f(now.w2, 3)],
    [S.r6, `${(100 * base.share).toFixed(1)}%`, `${(100 * now.share).toFixed(1)}%`]
  ]
  return html`<table class="tbl-num"><thead><tr><th>${S.qty}</th><th>${S.base}</th><th>${S.now(now.k.toFixed(2))}</th></tr></thead>
  <tbody>${rows.map((r) => html`<tr><td>${r[0]}</td><td>${r[1]}</td><td>${r[2]}</td></tr>`)}</tbody></table>`
}

怎么读。股票 1 只随因子 1 变动（因子 1 的均值为 0.01、方差为 0.02，股票 1 的载荷为 1）；股票 2 随另一个独立因子变动，其单位始终不变。每只股票的特质方差为 0.01，个股层面的岭项也为 0.01。论文的数据检验是去掉岭项；让岭项随单位换算，则是论文提出的补救办法，原文称为 transporting the ridge（幻灯片第 11、16、30 页）。来源：对论文组合规则的示意性算术推演（幻灯片第 8、10 页）；不涉及数据文件。

两位厨师按同一份配方做面包，一位用“碗”量面粉，另一位用“半碗”。配方里还有一句“每一份面粉加一撮盐”：盐按“份”收，于是用半碗计量的厨师放的盐更多，面粉却一样。差别出在规则的写法上，不在原料。补救办法有两个：去掉这条规则，或者让它随单位一起换算。在论文里，面粉对应预测，“份”由尺子决定，那撮盐就是加在每个因子风险上的 0.01 岭项。这个比方也有局限：岭项不像盐那样是额外的原料，而是一种收费，让规则少持有每个因子；另外，真实的换尺子还会混合各项暴露。

6 研究设计与主要结果

数据为核心股票池（剔除微型股后的美国股票）的 132 个特征，每月在股票之间按排名标准化 (Jensen 等 2023)（幻灯片第 4、5、8 页）。模型每月用此前 120 个月的数据重新估计，每个组合持有一个月，共得到 1973 年 6 月至 2024 年 11 月的 618 个组合构建月（幻灯片第 8 页）。特征尺子有三个版本，对这些月份的加权方式不同：指数加权移动平均（EWMA，半衰期 60 个月）版本、等权 120 个月版本和滚动 60 个月版本（幻灯片第 31 页）。统计推断采用配对的 12 个月区块自助法，抽样 10,000 次（幻灯片第 14 页）。

表 1：预测一致，持仓却不一致；去掉岭项后，持仓也几乎一致。采用特征尺子 EWMA 版本的 QZ-IPCA 与 IPCA 的比较，618 个月。

诊断指标	中位数	最大值
预测的相对差距	4.7 × 10⁻⁶	—
权重相似度（1 表示配置比例完全相同，0 表示毫无重合）	0.830	—
未缩放权重的相对差距，现行规则	0.607	0.895
未缩放权重的相对差距，去掉因子岭项后	3.9 × 10⁻⁶	9.6 × 10⁻⁵

相对差距以 IPCA 为基准；权重相似度只比较配置比例，而权重差距还反映规模（幻灯片第 9、27 页）。

图 2：只去掉因子岭项，两个组合的配置比例几乎相同。IPCA 与 QZ-IPCA 两个组合的“1 减权重相似度”，618 个月，对数坐标。

对数坐标时间序列，1973 年至 2024 年。按现行规则，两个模型的“1 减权重相似度（余弦）”大致在 0.01 至 0.5 之间；去掉因子岭项后多数落在 10⁻¹³ 至 10⁻¹⁰ 之间。阴影为 NBER 衰退期。

怎么读。数值越低，配置比例越一致（0 表示完全相同）。上方曲线：现行规则。下方散点：保持预测、特质风险和个股岭项不变，只删去因子岭项后重新求解的结果（中位数 6.0 × 10⁻¹²，最大 4.6 × 10⁻⁹）。灰色阴影为 NBER 衰退期（幻灯片第 27、28 页）。图中英文标注：纵轴 One minus the cross-model weight cosine 即“1 减权重相似度”，Implemented rule 即现行规则，Factor-coordinate ridge removed 即去掉因子岭项。来源：《特征几何与投资组合选择》工作论文（2026 年 9 月），取自论文自带的图形文件 fig_mechanism_identity.pdf。

这说明什么。 两个组合在每个月都不相同，无论衰退还是扩张；去掉岭项后，两者几乎重合（幻灯片第 27 页）。两个模型是分别估计的，所以这种近乎一致是检验得出的结果，并非由构造保证；它检验的是机制，而非业绩（幻灯片第 11 页）。

图 3：持仓不同，还不等于可靠的收益优势。按月复利的累计收益，头寸缩放至多空头寸总规模为 1，1973 年 6 月至 2024 年 11 月；截距视图为 1975 年 6 月起的 594 个月。

pf_data = FileAttachment("/data/portfolio_formation.json").json().catch(() => null)
pf_loadFailed = pf_data === null ? html`<p class="figcaption"><strong>${t("failed")}</strong></p><img src="/assets/img/portfolio_formation.png" alt="${pf_S.fallbackAlt}" style="width:100%">` : html``
// Visible strings, localised through LANG (the model labels in the data file are English).
pf_S = LANG === "zh" ? ({
  views: [["跨模型比较", "cross"], ["关闭截距与完整截距规则", "iab"], ["同一拟合，三种输入", "ablation"]],
  models: { ff5: "FF5（法玛–弗伦奇五因子）", rp_pca: "RP-PCA", ipca: "IPCA", qz_ipca: "QZ-IPCA（滚动 60 个月版本）", naipca_beta_only: "NA-IPCA，关闭截距", naipca_iab: "NA-IPCA，完整截距规则" },
  legs: { beta_only: "NA-IPCA，关闭截距", complete: "NA-IPCA，完整截距规则" },
  universes: { CORE: "核心股票池", MEGA: "超大盘股", LARGE: "大盘股", SMALL: "小盘股" },
  ablation: { intercept_off: "关闭截距", mean_only: "仅均值", complete_iab: "完整截距规则" },
  selectOne: "请至少选择一个模型以绘制图表。",
  sharpeGross: "夏普比率（未计交易成本）",
  wealth: (bp) => `累计收益（起点为 1；代理成本 ${bp} 个基点）`,
  wealthWord: "累计收益",
  ariaCross: "图 3：持仓不同，还不等于可靠的收益优势",
  ariaCrossDesc: "所选组合规则按月复利的累计收益，阴影为 NBER 衰退期。",
  ariaAbl: "图 3：同一拟合，三种输入",
  ariaAblDesc: "同一拟合模型三种输入规则（关闭截距、仅均值、完整截距规则）的夏普比率柱状图，未计交易成本。",
  thModel: "模型（618 个月）", thGross: "夏普比率（未计交易成本）", thProxy: (bp) => `代理成本调整后的夏普比率（${bp} 个基点）`,
  thRet: "年化均值（%）", thVol: "年化波动率（%）", thDD: "最大回撤（%）", thTO: "换手率", thBE: "盈亏平衡成本（代理成本，向上取整到基点）",
  pcaNote: "主成分分析（PCA）未列入：论文研究发布包把它的组合标为退化，在论文的设定下多空头寸总规模接近零。",
  thRule: "规则（594 个月共同样本）",
  thPaired: "配对月均收益差：完整截距规则 − 关闭截距", thMonths: "月数", thDiff: "月均差", thCI: "95% 区间", thHolm: "Holm 调整 p 值",
  full: "完整共同样本", recent: "2007 年 10 月以来",
  iabNote: "区间来自配对月收益的 12 个月区块自助法；夏普比率仅作描述。",
  thInput: "输入规则",
  ablNote: "全程使用同一个拟合模型：未计交易成本的增量主要来自均值输入，而不是针对截距载荷波动的额外风险收费。",
  fallbackAlt: "六种因子模型组合的累计收益，核心股票池，1973 年至 2024 年，对数坐标，阴影为 NBER 衰退期"
}) : ({
  views: [["Across models", "cross"], ["Intercept off vs complete intercept rule", "iab"], ["One fit, three inputs", "ablation"]],
  models: { ff5: "FF5 (Fama–French five factors)", rp_pca: "RP-PCA", ipca: "IPCA", qz_ipca: "QZ-IPCA (rolling-60 version)", naipca_beta_only: "NA-IPCA, intercept off", naipca_iab: "NA-IPCA, complete intercept rule" },
  legs: { beta_only: "NA-IPCA, intercept off", complete: "NA-IPCA, complete intercept rule" },
  universes: { CORE: "Core", MEGA: "Mega", LARGE: "Large", SMALL: "Small" },
  ablation: { intercept_off: "Intercept off", mean_only: "Mean only", complete_iab: "Complete intercept rule" },
  selectOne: "Select at least one model to draw the chart.",
  sharpeGross: "Sharpe ratio (before trading costs)",
  wealth: (bp) => `Cumulative return (start = 1; proxy cost ${bp} bp)`,
  wealthWord: "cumulative return",
  ariaCross: "Figure 3: A holdings difference is not yet a reliable return gain",
  ariaCrossDesc: "Compounded cumulative return of the selected portfolio rules, with NBER recessions shaded.",
  ariaAbl: "Figure 3: One fit, three inputs",
  ariaAblDesc: "Bar chart of Sharpe ratios before trading costs for three input rules of one fitted model: intercept off, mean only and the complete intercept rule.",
  thModel: "Model (618 months)", thGross: "Sharpe ratio (before trading costs)", thProxy: (bp) => `Proxy-adjusted Sharpe (${bp} bp)`,
  thRet: "Annualised mean (%)", thVol: "Annualised volatility (%)", thDD: "Maximum drawdown (%)", thTO: "Turnover", thBE: "Break-even cost (proxy, rounded up to whole bp)",
  pcaNote: "PCA (principal component analysis) is not shown: the paper's research release flags its portfolio as degenerate, with a total position size near zero under the paper's settings.",
  thRule: "Rule (594-month common sample)",
  thPaired: "Paired mean difference, complete − intercept off", thMonths: "Months", thDiff: "Monthly difference", thCI: "95% interval", thHolm: "Holm-adjusted p-value",
  full: "Full common sample", recent: "October 2007 onward",
  iabNote: "Intervals come from a 12-month block bootstrap of paired monthly returns; the Sharpe ratios are descriptive.",
  thInput: "Input rule",
  ablNote: "Same fitted model throughout: adding the intercept to the expected-return input accounts for most of the increase before trading costs; the extra risk charge for unstable intercept loadings adds little.",
  fallbackAlt: "Cumulative return of six factor-model portfolios, Core stocks, 1973 to 2024, log scale, NBER recessions shaded"
})
pf_fmtBp = (x) => LANG === "zh" ? ((x == null || Number.isNaN(x)) ? "> 500" : `${Math.round(x)} 个基点`) : fmtBp(x)
pf_label = (id) => pf_S.models[id] ?? (pf_data ? pf_data.cross_model.models.find((m) => m.id === id).label : id)

viewof pf_view = Inputs.radio(new Map(pf_S.views), { value: "cross", label: t("view") })

pf_investable = pf_data ? pf_data.cross_model.models.filter((m) => m.status === "OK") : []
viewof pf_chosen = Inputs.checkbox(pf_investable.map((m) => m.id), {
  label: t("models"), value: this?.value ?? ["ipca", "qz_ipca"],
  format: (id) => pf_label(id), disabled: pf_view !== "cross"
})
viewof pf_cost = Inputs.radio([0, 10, 50], { label: t("cost"), value: this?.value ?? 0, format: (x) => LANG === "zh" ? `${x} 个基点` : `${x} bp`, disabled: pf_view === "ablation" })
viewof pf_universe = Inputs.radio(pf_data ? pf_data.iab.universes : ["CORE"], { label: t("universe"), value: this?.value ?? "CORE", format: (u) => pf_S.universes[u] ?? u, disabled: pf_view !== "iab" })
viewof pf_logScale = Inputs.toggle({ label: t("log"), value: this?.value ?? true, disabled: pf_view === "ablation" })
viewof pf_sample = Inputs.radio([618, 594], { label: t("sample"), value: this?.value ?? 594, disabled: pf_view !== "ablation" })

pf_months = pf_data ? pf_data.months.map(parseMonth) : []
pf_series = {
  if (!pf_data) return []
  if (pf_view === "cross") {
    return pf_chosen.map((id) => ({ id, label: pf_label(id),
      r: netSeries(pf_data.cross_model.r[id], pf_data.cross_model.turnover[id], pf_cost) }))
  }
  if (pf_view === "iab") {
    const k = pf_data.iab.strict24_start_index
    return ["beta_only", "complete"].map((leg) => ({ id: leg, label: pf_S.legs[leg], start: k,
      r: netSeries(pf_data.iab.r[pf_universe][leg].slice(k), pf_data.iab.turnover[pf_universe][leg].slice(k), pf_cost) }))
  }
  return []
}
pf_rows = pf_series.flatMap((s) => wealthPath(s.r).map((w, i) => ({ date: pf_months[i + (s.start ?? 0)], wealth: w, label: s.label, id: s.id })))

pf_ablationNames = pf_S.ablation
pf_ablationOrder = ["intercept_off", "mean_only", "complete_iab"]

pf_chart = {
  if (!pf_data) return html``
  if (pf_view === "cross" && pf_chosen.length === 0) return html`<p class="note">${pf_S.selectOne}</p>`
  if (pf_view === "ablation") {
    const data = pf_data.ablation.filter((d) => d.sample_months === pf_sample)
    return Plot.plot({
      width: Math.min(width, 640), height: 260, marginLeft: 50, style: { fontFamily: "inherit", fontSize: 12 },
      ariaLabel: pf_S.ariaAbl,
      ariaDescription: pf_S.ariaAblDesc,
      x: { domain: pf_ablationOrder, tickFormat: (d) => pf_ablationNames[d], label: null },
      y: { label: pf_S.sharpeGross, grid: true },
      marks: [
        Plot.barY(data, { x: "model", y: "gross_sharpe", fill: (d) => d.model === "complete_iab" ? palette.complete : palette.rp_pca }),
        Plot.text(data, { x: "model", y: "gross_sharpe", text: (d) => fmt2(d.gross_sharpe), dy: -8, fontFamily: "inherit" }),
        Plot.ruleY([0])
      ]
    })
  }
  const color = { domain: pf_series.map((s) => s.label), range: pf_series.map((s) => palette[s.id]) }
  return Plot.plot({
    width: Math.min(width, 640), height: 360, marginLeft: 52, style: { fontFamily: "inherit", fontSize: 12 },
    ariaLabel: pf_S.ariaCross,
    ariaDescription: pf_S.ariaCrossDesc,
    x: { label: null }, y: { type: pf_logScale ? "log" : "linear", grid: true, label: pf_S.wealth(pf_cost) },
    color: { ...color, legend: true },
    marks: [
      nberMarks(pf_data.nber),
      Plot.lineY(pf_rows, { x: "date", y: "wealth", stroke: "label", strokeWidth: (d) => d.id === "naipca_iab" || d.id === "complete" ? 2 : 1.4 }),
      Plot.tip(pf_rows, Plot.pointerX({ x: "date", y: "wealth", stroke: "label", title: (d) => `${d.label}\n${d.date.toISOString().slice(0, 7)} · ${pf_S.wealthWord} ${fmt2(d.wealth)}` }))
    ]
  })
}

pf_table = {
  if (!pf_data) return html``
  const S = pf_S
  if (pf_view === "cross") {
    if (pf_chosen.length === 0) return html`<p class="note">${S.selectOne}</p>`
    const t = pf_data.cross_model.table.filter((d) => pf_chosen.includes(d.id))
    return html`<table><thead><tr><th>${S.thModel}</th><th>${S.thGross}</th>${pf_cost > 0 ? html`<th>${S.thProxy(pf_cost)}</th>` : ""}<th>${S.thRet}</th><th>${S.thVol}</th><th>${S.thDD}</th><th>${S.thTO}</th><th>${S.thBE}</th></tr></thead>
      <tbody>${t.map((d) => { const r = pf_data.cross_model.r[d.id], to = pf_data.cross_model.turnover[d.id]; const net = sharpe(netSeries(r, to, pf_cost));
        return html`<tr><td>${pf_label(d.id)}</td><td>${fmt2(d.gross_sharpe)}</td>${pf_cost > 0 ? html`<td>${fmt2(net)}</td>` : ""}<td>${fmt1(d.annual_return_pct)}</td><td>${fmt1(d.annual_vol_pct)}</td><td>${fmt1(d.max_drawdown_pct)}</td><td>${fmt2(d.turnover)}</td><td>${pf_fmtBp(d.break_even_cost_bp)}</td></tr>` })}</tbody></table>
      <p class="note">${S.pcaNote}</p>`
  }
  if (pf_view === "iab") {
    const t = pf_data.iab.table.filter((d) => d.universe === pf_universe)
    const p = pf_data.iab.paired.filter((d) => d.universe === pf_universe)
    return html`<table><thead><tr><th>${S.thRule}</th><th>${S.thGross}</th><th>${S.thProxy(10)}</th><th>${S.thProxy(50)}</th><th>${S.thRet}</th><th>${S.thDD}</th><th>${S.thTO}</th><th>${S.thBE}</th></tr></thead>
      <tbody>${t.map((d) => html`<tr><td>${S.legs[d.leg] ?? d.label}</td><td>${fmt2(d.gross_sharpe)}</td><td>${fmt2(d.net_sharpe_10bp)}</td><td>${fmt2(d.net_sharpe_50bp)}</td><td>${fmt1(d.annual_return_pct)}</td><td>${fmt1(d.max_drawdown_pct)}</td><td>${fmt2(d.turnover)}</td><td>${pf_fmtBp(d.break_even_cost_bp)}</td></tr>`)}</tbody></table>
      <table><thead><tr><th>${S.thPaired}</th><th>${S.thMonths}</th><th>${S.thDiff}</th><th>${S.thCI}</th><th>${S.thHolm}</th></tr></thead>
      <tbody>${p.map((d) => html`<tr><td>${d.sample === "STRICT24_FULL" ? S.full : S.recent}</td><td>${d.n_months}</td><td>${(d.mean_diff_monthly * 100).toFixed(2)}%</td><td>[${(d.ci_low * 100).toFixed(2)}%, ${(d.ci_high * 100).toFixed(2)}%]</td><td>${d.p_holm < 1e-3 ? "< 0.001" : d.p_holm.toFixed(d.p_holm < 0.01 ? 3 : 2)}</td></tr>`)}</tbody></table>
      <p class="note">${S.iabNote}</p>`
  }
  const d = pf_data.ablation.filter((x) => x.sample_months === pf_sample)
  return html`<table><thead><tr><th>${S.thInput}</th><th>${S.thGross}</th><th>${S.thRet}</th><th>${S.thVol}</th><th>${S.thDD}</th></tr></thead>
    <tbody>${d.map((x) => html`<tr><td>${pf_ablationNames[x.model]}</td><td>${fmt2(x.gross_sharpe)}</td><td>${fmt1(x.annual_return_pct)}</td><td>${fmt1(x.annual_vol_pct)}</td><td>${fmt1(x.max_drawdown_pct)}</td></tr>`)}</tbody></table>
    <p class="note">${S.ablNote}</p>`
}

怎么读。“跨模型比较”：618 个月；QZ-IPCA 取夏普比率最高的滚动 60 个月版本（表 1 用 EWMA 版本）（幻灯片第 31 页）；完整规则前 24 个月不足 24 次此前估计，与表 2 不同（幻灯片第 13 页）。“关闭截距与完整截距规则”：按市值分组比较（幻灯片第 40、41 页）。“同一拟合，三种输入”：以柱状图显示表 2（幻灯片第 38 页）。默认未计交易成本；10 和 50 个基点（1 个基点为 0.01 个百分点）的视图按换手率代理扣除成本，并非可实现的扣费后收益（幻灯片第 47 页）。来源：《特征几何与投资组合选择》工作论文（2026 年 9 月）；研究发布包 2026-09-09，core_monthly_unitgross_returns_source.csv、core_model_performance_618.csv、iab_ra_monthly.csv、beta_only_monthly.csv、Strict24_Main_Performance.csv、Strict24_Paired_Inference.csv、ablation_summary.csv、nber_monthly.csv；发布包未公开；路径由本站复利计算，仅作描述。数据 · PNG

这说明什么。 在 618 个月中，IPCA 的夏普比率（未计交易成本）为 0.64，QZ-IPCA 三个版本为 0.85 至 1.00（幻灯片第 31 页）。这些组合都保留了固定岭项；由于预测几乎相同，这一收益差异背后的持仓差距来自岭项，而非更好的预测（幻灯片第 11、27 页）。三个版本中，只有滚动 60 个月版本相对 IPCA 的夏普差值的 95% 区间不含零（0.37 [0.02, 0.68]），而且只在 12 个月区块下成立（幻灯片第 34、36 页）。换成表 2 的 594 个月样本，三个版本的夏普差值区间都不含零，但收益均值差的区间都包含零（幻灯片第 35 页）。尺子的排序并不稳健，论文也没有选出最优的尺子（幻灯片第 16 页）。

第二项结果来自同一个 NA-IPCA 拟合：拟合保持不变，每次只切换组合规则的一项输入，分别是关闭截距、仅在均值中加入截距，以及完整截距规则。完整截距规则还根据截距载荷在此前 24 次估计中的变动幅度，额外加一项风险收费（幻灯片第 13 页）。

表 2：同一拟合，三种输入。采用特征尺子 EWMA 版本的 NA-IPCA，594 个月，未计交易成本。

	关闭截距	仅均值	完整截距规则
夏普比率	0.39	2.51	2.53
年化均值（%）	1.75	7.59	7.60
年化波动率（%）	4.46	3.02	3.00
最大回撤（%）	−17.73	−3.93	−3.87

样本为 1975 年 6 月至 2024 年 11 月，以保证完整截距规则每月都有此前 24 次估计可用（幻灯片第 13 页）。“仅均值”减“关闭截距”：每月 48.69 个基点，95% 区间为 [34.66, 63.36]（幻灯片第 14、38–39 页）。

这说明什么。 在同一个拟合模型内，增量主要来自把截距纳入预期收益；针对截距载荷波动的额外风险收费作用很小（幻灯片第 14 页）。

近期样本。 2007 年 10 月以来（206 个月），在核心股票池中，完整规则比关闭截距的规则每月平均收益高 0.20 个百分点，95% 区间为 [−0.07, 0.41]，数据分不清这是增益还是损失；四个市值分组的区间都包含零（幻灯片第 15、41 页）。论文没有检验两个时期之间是否存在差异（幻灯片第 15 页）。

7 与既有文献的比较

一类文献用大量特征构建预测和因子，另一类对风险估计进行收缩。本文研究两者之间的那一步：预测怎样变成投资组合。

既有文献	已有结论	本文的补充
Kelly 等 (2019)	以特征为工具刻画时变的因子载荷（IPCA）；因子未能解释的收益归入“异象截距”	表明尺子的选择虽不影响拟合，却会通过固定的因子岭项改变组合；并在同一拟合内度量截距在未计交易成本时的组合价值，不重新检验其零截距约束
Gu 等 (2020)	基于大量特征的机器学习预测能为投资者带来可观收益	预测几乎不变时组合仍会变：预测一致并不意味着组合一致
Jagannathan and Ma (2003)；Ledoit and Wolf (2017)	组合权重约束的作用类似协方差收缩；非线性收缩可改进组合选择	因子风险上的岭项相当于一个个股层面的惩罚；除非让它随单位换算，它的大小取决于尺子的单位
Zaffaroni (2025)	在条件因子模型中，遗漏因子或设定有误的动态会产生相对于模型的截距	为截距可承载的内容设上限并度量其组合价值，但不把它当作错误定价的证据

《几何框架》与《特征空间度量》表明，尺子决定拟合如何拆分，而不改变拟合本身。本文把《特征空间度量》引为配套理论论文（幻灯片第 3 页），把这一选择追到投资组合，发现它通过一个写在尺子单位里的固定小常数（岭项）起作用。求职论文《特征库》把问题再推进一步：既然尺子的单位能改变持仓，特征库的写法是否也能？

《解读定价误差》与《特征几何》都在问模型“剩下的部分”值多少，但场景不同。前者把一个基于特征的模型的阿尔法成分适度调小，使平方误差意义下的预测更准；后者在同一次 NA-IPCA 拟合内，把截距纳入预期收益，衡量未计交易成本的组合夏普比率。两者的模型、目标和样本都不同，因此既不相互印证，也不相互矛盾。

所依据的工具早已为人所知。本文的新意有两点。第一，提出一项“表示一致性”检验：凡是在因子自身单位里加固定惩罚的组合规则，都可以用它检查持仓会不会随尺子的单位而变；本文在 618 个月的存档矩阵上逐月做了这项检验。第二，在同一次拟合内逐项开关输入（消融），度量截距在未计交易成本时的价值（幻灯片第 11、14、27 页）。这套检验本身不是新的估计方法。

8 适用范围

未计交易成本。 夏普比率都未扣除交易、融资和融券成本。盈亏平衡成本，指按换手率代理成本扣除后、平均收益恰好降为零时的单边交易费率。在 594 个月的共同样本中，完整规则的盈亏平衡成本为 136.3 个基点，风险溢价主成分分析（RP-PCA，另一种因子模型）(Lettau and Pelger 2020) 为 142.3 个基点（幻灯片第 48 页）。部署评估还需要经过核实的信息时点，以及基于实际持仓的交易成本（幻灯片第 16 页）。
机制检验，不是业绩检验。 论文没有计算去掉岭项或换算岭项后组合的收益（幻灯片第 11、30 页）。
参与维数不等于定价风险的个数。 它描述的是特征暴露在股票之间的重叠程度（幻灯片第 23 页）。
未证明截距是错误定价。 作这种解读需要一个明确设定的经济基准（幻灯片第 49 页）。
未选出最优的尺子。 论文报告了特征尺子的三个版本，没有从中挑选；区间也没有按多重比较调整（幻灯片第 12、16 页）。

参考文献

Gu, Shihao, Bryan Kelly, and Dacheng Xiu. 2020. “Empirical Asset Pricing via Machine Learning.” Review of Financial Studies 33 (5): 2223–73. https://academic.oup.com/rfs/article/33/5/2223/5758276.

Jagannathan, Ravi, and Tongshu Ma. 2003. “Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps.” Journal of Finance 58 (4): 1651–83. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/1540-6261.00580.

Jensen, Theis Ingerslev, Bryan Kelly, and Lasse Heje Pedersen. 2023. “Is There a Replication Crisis in Finance?” Journal of Finance 78 (5): 2465–518. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/jofi.13249.

Kelly, Bryan T., Seth Pruitt, and Yinan Su. 2019. “Characteristics Are Covariances: A Unified Model of Risk and Return.” Journal of Financial Economics 134 (3): 501–24. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0304405X19301151.

Ledoit, Olivier, and Michael Wolf. 2017. “Nonlinear Shrinkage of the Covariance Matrix for Portfolio Selection: Markowitz Meets Goldilocks.” Review of Financial Studies 30 (12): 4349–88. https://academic.oup.com/rfs/article-abstract/30/12/4349/3863121.

Lettau, Martin, and Markus Pelger. 2020. “Estimating Latent Asset-Pricing Factors.” Journal of Econometrics 218 (1): 1–31. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0304407620300051.

Liu, Mingyang. 2026. Characteristic-Space Metrics in Factor Models: Identification and Inference. https://doi.org/10.2139/ssrn.7445120.

Zaffaroni, Paolo. 2025. “Factor Models for Conditional Asset Pricing.” Journal of Political Economy 133 (8): 2615–42. https://www.journals.uchicago.edu/doi/abs/10.1086/735513.

引用

BibTeX

@report{liu2026geometry,
  author = {Liu, Mingyang},
  publisher = {Imperial Business School, Imperial College London},
  title = {Characteristic Geometry and Portfolio Choice},
  date = {2026-09},
  url = {https://yl7919.github.io/research/characteristic-geometry.html},
  langid = {zh}
}

请按如下格式引用：

Liu, Mingyang. 2026. Characteristic Geometry and Portfolio Choice. Working paper. Imperial Business School, Imperial College London. https://yl7919.github.io/research/characteristic-geometry.html.