因子模型中的特征空间度量：识别与推断

Characteristic-Space Metrics in Factor Models: Identification and Inference

拟合收益相同的两个因子模型为何会给出不同的收益归因；当决定归因的尺子需要估计时，标准误应如何计算。

作者

单位

刘明杨（Mingyang Liu）

帝国理工学院商学院

版本

2026年9月

论文（PDF） · 网络附录（PDF） · 幻灯片（PDF） · SSRN · BibTeX

SSRN 预印本 · 2026 年 9 月 · DOI 10.2139/ssrn.7445120（SSRN 署名为 Yang Liu）

两个因子模型可以给每只股票完全相同的拟合收益，却对收益来源各执一词：多少来自潜在因子（模型从数据中推断的共同驱动因素），多少来自市场等可观测因子，多少留在没有被任何因子解释的截距里。本文证明，决定这一拆分的是一项约定，也就是尺子：它规定两个特征（例如两个价值信号）何时算作重叠。尺子由同一批数据估计，它的估计误差必须计入标准误。在一个为隔离这一机制而设计的简化模拟中（960 期），忽略这一误差，本应 100 次中有 95 次包含真值的区间，实际只有约 89–92 次包含（表 II，第 34 页）。

1 研究问题

在整个研究主线中，本文接续《几何框架》，回答的是：尺子选定之后，它究竟决定了什么？又能决定得多精确？下一篇《解读定价误差》接着追问：“更小的阿尔法”又意味着什么？

基于特征的因子模型拟合出收益之后，这份收益在潜在因子、可观测因子和截距之间怎样划分，由什么决定？这种划分又能估计得多精确？

模型分三部分：潜在因子、市场等可观测因子，以及截距，即本模型中没有被任何因子解释的那部分预期收益（与首页所说的“阿尔法”相近，但阿尔法是相对于某个指定基准模型而言的）。但拟合收益的一部分可以从截距或市场因子挪给潜在因子，再相应调整潜在因子，而每个拟合收益都与原来完全一样。这些拆分拟合得一样好，拟合本身无从选择；决定拆分的是一项约定，也就是尺子。而且，各特征即使标准化之后，尺度和重叠程度仍各不相同（第 1 节，第 2 页），所以选哪把尺子并非无关紧要。

模型为什么需要尺子。 要说清一只股票的预期收益有多少归功于哪个驱动因素，模型得先判断两个特征方向是否真的不同、各自有多大。做这个判断的规则，就是尺子。给每个特征一个权重再相加，每只股票就得到一个分数；这样的加权组合称为特征方向（它不是投资组合）。普通尺子（欧氏度量）只看方向的权重本身；特征尺子（格拉姆度量）则看这个方向给真实股票打出的分数：分数通常有多大，两个方向的分数在股票之间是否同高同低。尺子，是模型用来衡量一个特征方向有多大、两个特征方向重叠多少的规则。两个价值信号若总是选中同一批便宜的股票，特征尺子会把它们算作重叠，普通尺子却把它们当作互不相关。

2 为什么重要

研究者经常报告：潜在因子与某个基准方向有多接近，截距有多大，潜在因子代表了哪些特征方向。这些数字都取决于拆分方式，而不只取决于拟合（命题 1，第 7 页）。

经济含义。 R² 分不清这些拆分，所以报告的截距变小，可能只是约定不同，而不是解释力更强（推论 1，第 7 页）。
统计含义。 特征尺子是用同一批数据估计出来的。把它当作已知，会漏掉尺子本身的抽样误差，以及这一误差与收益噪声的共同变动（定理 1，第 16 页）；在论文的模拟中，这会使标准误偏小（第 8.2 节，第 33 页）。报告时应写明所用的尺子；尺子若是估计的，就要计入它的误差。

3 论证脉络

拟合相同，拆分不同。 两个模型可以让每只股票的拟合收益完全相同，却以不同比例把它归于潜在因子、可观测因子和截距（命题 1，第 7 页）。→ 一个简单例子
拟合无从裁决。 正因为拟合相同，R² 与残差无法在不同拆分之间作出选择（推论 1，第 7 页）。→ 为什么重要
由约定决定。 所以必须由一项约定来决定，即尺子（第 3.1 节，第 6–7 页）。→ 理论框架
美国数据中两把尺子差别很大。 特征尺子按两个特征选中的股票来衡量重叠；在美国股票特征中（未用收益），它与普通尺子差别很大（表 I，第 31 页）。→ 研究设计与主要结果
误差必须计入。 这把尺子由同一份数据估计，其误差会进入每一个所报告的拆分；因此本文推导出计入这一误差、且不随模型参数化方式而变的标准误（定理 1–2，第 16、20 页）。→ 理论框架
证据。 在 960 期的简化模拟中，忽略这一误差，95% 区间每 100 次只有约 89–92 次包含真值；计入之后回到约 94–95 次（表 II，第 34 页）。→ 研究设计与主要结果
上限附近。 有些模型限制截距最多能承载多少收益，例如《几何框架》提出的无套利 IPCA（NA-IPCA，以特征尺子为基础的工具化主成分分析，“无套利”即指这一上限）。估计值顶到上限，称上限“起作用”（约束为紧），否则称“不起作用”。上限本身也用同一把估计出的尺子来量，所以尺子的误差也会移动上限；本文据此构造无论上限是否起作用都有效的区间，代价是区间更宽（定理 4，第 29 页）。→ 研究设计与主要结果

4 理论框架

每一期，股票 i 有一组特征 z_{i,t}，并在下一期实现一个超额收益。模型包含三块（式 2.1，第 4 页）：

r_{i,t+1} = z_{i,t}'\Gamma_\beta f_{t+1} + z_{i,t}'\Gamma_\delta g_{t+1} + z_{i,t}'\Gamma_\alpha + \varepsilon_{i,t+1}.

其中 f 为潜在因子，g 为可观测因子；\Gamma_\beta、\Gamma_\delta 把特征转化为载荷（股票随某个因子变动的强弱），\Gamma_\alpha 则把特征转化为截距。特征尺子（格拉姆度量）按两个方向给真实股票打出的分数来衡量它们（式 2.5，第 5 页）：

\langle a,b\rangle_{Q_Z} = a'Q_Z\,b = \mathbb{E}\!\left[N_t^{-1}(Z_t a)'(Z_t b)\right].

论文把尺子称为分离各块的一项约定（第 2 页）：用哪把尺子，是研究者公开声明的选择，不是一项发现；但选定特征尺子之后，它的取值要用数据估计。理论包括三项结论。

拟合相同，拆分不同。 对任意一把尺子，一个匹配变换先把潜在因子的载荷标准化，再去掉其他两块与潜在因子载荷的重叠，并在因子序列中抵消这两步改动，所以每个拟合收益都不变（命题 1，第 7 页）。而截距可承载内容的有限上限则不同：它不是换尺子，可能排除某些模型，也可能改变拟合收益（第 2、7 页）。
尺子需要估计时的推断。 估计量的大样本展开在通常的收益项之外，加入尺子的估计项，并保留二者的协方差（定理 1，第 16 页）。由此得到一个标准误公式：它计入尺子本身的误差，也不随模型参数化方式而变（定理 2，第 20 页）。
在需要估计的上限附近。 估计出的尺子不仅移动估计值，还移动上限。因此在大样本下，估计值相当于一个正态随机向量被“推回”到一条会移动的边界上，其分布一般不再对称（定理 3，第 26 页）。用最不利分位数构造的区间，无论真值离上限多远，在大样本下包含真值的比例都不低于本应达到的水平，但可能偏保守（定理 4，第 29 页）。这一保证不包括临界分位数落在原子（概率集中点）上的指标，例如上限恰好起作用时截距本身的大小（第 28 页）。

技术表述

推断对象。 推断的是“只差一个潜在因子旋转”的一整类载荷，而非某一组具体载荷；总体准则在这一类附近的曲率保证它在局部可识别（命题 2，第 8 页）。协方差对齐条件，加上局部正则性与上限严格不起作用，足以保证它就是结构载荷类，即使截面规模固定（命题 3，第 12 页）。
估计量。 对任一组候选载荷，先用最小二乘精确求出每期的因子值，各期再按固定权重合并，然后只对载荷寻优（即精确剖面化，exactly profiled）；理论在正则的局部分支上成立（定理 1，第 16 页）。
所报告的指标。 每个光滑指标的影响函数都不随局部坐标而变（定理 2，第 20 页）；用异方差与自相关稳健（HAC）方法估计，即得渐近有效的区间（命题 5，第 23 页）。只有一个约束、指标为标量时，只需计算完全不起作用与恰好起作用两个端点（命题 6，第 28 页）。

5 一个简单例子

palette = ({
  naipca_iab: "#18557f", complete: "#18557f",
  qz_ipca: "#8a6a1a",
  ipca: "#6f9cc0", rp_pca: "#7a7a7a", ff5: "#b3b3b3",
  naipca_beta_only: "#8a8378", beta_only: "#8a8378",
  band: "rgba(0,0,0,0.06)", muted: "rgba(0,0,0,0.6)", rule: "rgba(0,0,0,0.1)"
})
LANG = (document.documentElement.lang || "en").startsWith("zh") ? "zh" : "en"
STR = ({ en: { view: "View", cost: "Cost (bp per traded dollar)", universe: "Universe", sample: "Sample (months)", log: "Log scale", models: "Models", statistic: "Statistic", theme: "Theme", sort: "Sort by", method: "Method", scenario: "Scenario", block: "Block (months)", metric: "Metric", intervals: "Intervals", cost_bp: "One-way cost (bp)", failed: "Interactive data failed to load. The static figure is shown instead." },
        zh: { view: "视图", cost: "成本（每交易一美元，基点）", universe: "股票池", sample: "样本（月）", log: "对数坐标", models: "模型", statistic: "统计量", theme: "主题", sort: "排序", method: "方法", scenario: "情景", block: "块长（月）", metric: "指标", intervals: "区间", cost_bp: "单边成本（基点）", failed: "交互数据加载失败，改为显示静态图。" } })
t = (k) => STR[LANG][k] ?? STR.en[k] ?? k
fmt2 = (x) => (x == null || Number.isNaN(x)) ? "n/a" : x.toFixed(2)
fmt1 = (x) => (x == null || Number.isNaN(x)) ? "n/a" : x.toFixed(1)
fmtBp = (x) => (x == null || Number.isNaN(x)) ? "> 500" : `${Math.round(x)} bp`
parseMonth = (s) => new Date(`${s}-01T00:00:00Z`)
// Sharpe, annualised, sample std (ddof = 1): matches the release convention
sharpe = (r) => {
  const n = r.length, m = r.reduce((a, b) => a + b, 0) / n
  const v = r.reduce((a, b) => a + (b - m) ** 2, 0) / (n - 1)
  const vol = Math.sqrt(v) * Math.sqrt(12)
  return vol > 1e-12 ? (m * 12) / vol : NaN
}
netSeries = (r, to, bp) => r.map((x, i) => x - to[i] * bp / 1e4)
wealthPath = (r) => { let w = 1; return r.map((x) => (w *= 1 + x)) }
nberMarks = (nber) => Plot.rectX(nber, { x1: (d) => parseMonth(d.start), x2: (d) => parseMonth(d.end), fill: palette.band })

打个比方。三个部门共用一间办公室，公司总利润是确定的；每个部门报出多少利润，取决于公共开支怎么分摊。换一种分摊规则，各部门的数字都会变，总数却不变，所以只看总数，永远选不出“对”的规则。这里的“部门”是潜在因子、可观测因子和截距，“公共开支”是选中同一批股票的特征之间的重叠部分。

试一试。 1. 把 ρ（两个价值信号的重叠度）调到 0，两把尺子一致。2. 把 ρ 拖到 0.9，潜在因子部分变大，可观测因子和截距部分变小，虚线标出的总数纹丝不动。原因是：可观测因子和截距都落在第二个信号上；它与账面市值比（潜在因子所在的信号）重叠越多，特征尺子记在潜在因子名下的就越多。3. 切换到股票 B，有两部分是负数，而且 ρ 越大负得越多，总数却仍是 0.20。负值表示该来源被记为拉低了这只股票的拟合收益。请注意： 拟合本身告诉不了你哪根条形才对，决定拆分的只有尺子。

图 1：同一个拟合收益，两把尺子。示意例子（虚构数字，并非论文估计值）。

// Illustrative example (not paper data). Two characteristics, one hidden (latent) factor, one
// observed factor and an intercept. The start is the plain-ruler section (identity metric); the
// characteristic ruler (Gram metric) M = [[1, rho], [rho, 1]] is applied with the matched
// transformation of Proposition 1 (paper eqs. 3.2-3.4). The fitted value z'h is identical under
// both rulers by construction: 1.00 for stock A and 0.20 for stock B.
viewof csm_toy_rho = Inputs.range([0, 0.95], { value: 0.4, step: 0.05, label: LANG === "zh" ? "重叠度 ρ" : "Overlap ρ of the two value signals" })

viewof csm_toy_stock = Inputs.radio(new Map(LANG === "zh"
  ? [["股票 A：两个价值信号都高", "A"], ["股票 B：账面市值比高、另一个价值信号低", "B"]]
  : [["Stock A: high on both value signals", "A"], ["Stock B: high book-to-market, low second signal", "B"]]), { value: "A", label: LANG === "zh" ? "股票" : "Stock" })

csm_toy_split = (rho, z) => {
  // plain-ruler section: hidden-factor loading on characteristic 1, retained loadings on characteristic 2
  const b = [1, 0], d = [0, 0.6], a = [0, 0.4], f = 1, g = 1
  const M = [[1, rho], [rho, 1]]
  const Mv = (x) => [M[0][0] * x[0] + M[0][1] * x[1], M[1][0] * x[0] + M[1][1] * x[1]]
  const dot = (x, y) => x[0] * y[0] + x[1] * y[1]
  const R = Math.sqrt(dot(b, Mv(b)))                  // eq. 3.2: normalize the latent loading
  const bM = b.map((x) => x / R)
  const cd = dot(bM, Mv(d)), ca = dot(bM, Mv(a))      // eq. 3.3: overlap of retained loadings with the latent span
  const dM = d.map((x, i) => x - bM[i] * cd), aM = a.map((x, i) => x - bM[i] * ca)
  const fM = R * f + cd * g + ca                      // eq. 3.4: offsetting factor adjustment
  return { latent: dot(z, bM) * fM, observed: dot(z, dM) * g, intercept: dot(z, aM), exposure: dot(aM, Mv(aM)) }
}
csm_toy_z = csm_toy_stock === "A" ? [0.5, 0.5] : [0.5, -0.3]
csm_toy_I = csm_toy_split(0, csm_toy_z)
csm_toy_G = csm_toy_split(csm_toy_rho, csm_toy_z)
csm_toy_parts = LANG === "zh"
  ? [["latent", "潜在因子"], ["observed", "可观测因子"], ["intercept", "截距"]]
  : [["latent", "Hidden factor"], ["observed", "Observed factor"], ["intercept", "Intercept"]]
// Short axis labels (two lines); the table rows carry the full names.
csm_toy_rows = [[LANG === "zh" ? "普通尺子" : "Plain ruler", csm_toy_I], [LANG === "zh" ? `特征尺子\nρ = ${csm_toy_rho.toFixed(2)}` : `Characteristic ruler\nρ = ${csm_toy_rho.toFixed(2)}`, csm_toy_G]]
  .flatMap(([ruler, s]) => csm_toy_parts.map(([k, lab]) => ({ ruler, part: lab, value: s[k] })))

csm_toy_chart = Plot.plot({
  width: Math.min(width, 640), height: 190, marginLeft: width < 500 ? 120 : 150, marginRight: 20, marginBottom: 46, style: { fontFamily: "inherit", fontSize: 12 },
  ariaLabel: LANG === "zh" ? "图 1：同一个拟合收益，两把尺子（示意）" : "Figure 1: One fitted return, two rulers (illustrative)",
  ariaDescription: LANG === "zh"
    ? "上下两根堆叠条形分别用普通尺子和特征尺子，把同一个拟合收益拆成潜在因子、可观测因子和截距三部分；两把尺子下的总数相同。"
    : "Stacked bars split the same fitted return into hidden-factor, observed-factor and intercept parts under the plain ruler and under the characteristic ruler. The total is the same for both rulers.",
  x: { label: LANG === "zh" ? "对拟合收益的贡献（示意单位）" : "Contribution to the fitted return (illustrative units)", labelAnchor: width < 500 ? "right" : "center", labelOffset: 40, grid: true },
  y: { label: null, domain: csm_toy_rows.map((d) => d.ruler).filter((v, i, a) => a.indexOf(v) === i) },
  color: { domain: csm_toy_parts.map((p) => p[1]), range: [palette.complete, palette.qz_ipca, palette.ipca], legend: true },
  marks: [
    Plot.barX(csm_toy_rows, Plot.stackX({ x: "value", y: "ruler", fill: "part", order: csm_toy_parts.map((p) => p[1]) })),
    Plot.ruleX([0], { stroke: palette.muted }),
    Plot.tickX([{ x: csm_toy_I.latent + csm_toy_I.observed + csm_toy_I.intercept }], { x: "x", stroke: "black", strokeWidth: 2, strokeDasharray: "4 2" }),
    Plot.tip(csm_toy_rows, Plot.pointerY(Plot.stackX({ x: "value", y: "ruler", title: (d) => `${d.ruler}\n${d.part}: ${fmt2(d.value)}` })))
  ]
})

csm_toy_table = {
  const zh = LANG === "zh"
  const r = (s) => ({ lat: fmt2(s.latent), obs: fmt2(s.observed), int: fmt2(s.intercept), tot: fmt2(s.latent + s.observed + s.intercept), exp: s.exposure.toFixed(3) })
  const I = r(csm_toy_I), G = r(csm_toy_G)
  return html`<div class="table-scroll"><table class="table table-sm"><thead><tr><th></th><th>${zh ? "潜在因子" : "Hidden factor"}</th><th>${zh ? "可观测因子" : "Observed factor"}</th><th>${zh ? "截距" : "Intercept"}</th><th>${zh ? "拟合收益" : "Fitted return"}</th><th>${zh ? "截距承载量（平方）" : "How much the intercept carries (squared size)"}</th></tr></thead>
  <tbody><tr><td>${zh ? "普通尺子" : "Plain ruler (treats the two signals as unrelated)"}</td><td>${I.lat}</td><td>${I.obs}</td><td>${I.int}</td><td><strong>${I.tot}</strong></td><td>${I.exp}</td></tr>
  <tr><td>${zh ? `特征尺子（ρ = ${csm_toy_rho.toFixed(2)}）` : `Characteristic ruler (counts shared stocks; overlap ρ = ${csm_toy_rho.toFixed(2)})`}</td><td>${G.lat}</td><td>${G.obs}</td><td>${G.int}</td><td><strong>${G.tot}</strong></td><td>${G.exp}</td></tr></tbody></table></div>`
}

怎么读。上方条形用普通尺子拆分一只股票的拟合收益；下方条形用特征尺子，两个信号的重叠度为 ρ。虚线刻度标出拟合收益：无论用哪把尺子，股票 A 都是 1.00，股票 B 都是 0.20。表格最后一列两只股票相同：用各自的尺子衡量截距整体承载多少，即截距上限所限制的量；某只股票的截距部分变大时，它仍可能变小。默认 ρ = 0.40 已经偏高：真实重叠度中位数为 0.06，二十对中仅一对超过 0.38（第 31 页）。来源：按论文命题 1 及式 3.2 至 3.4 的匹配变换计算的示意例子；无数据文件。

这个比方也有不同之处：特征尺子一旦选定，其取值由特征数据计算得出，所以尺子上的刻度，正是用你要量的同一批数据画出来的。

6 研究设计与主要结果

证据分三部分（第 8 节，第 30–38 页）。第一部分用 1962–2025 年、包含 153 个月度特征的美国股票面板，衡量真实特征的重叠程度（第 8.1 节，第 30 页）。第二部分是一个简化模拟（L = 12 个特征、N = 100 只股票，在 T = 240 和 960 期下各重复 2,000 次）：点估计固定不变，只比较不同的标准误算法（第 32–33 页）。第三部分是局部实验：一个直接模拟大样本近似的简化实验，并不重新估计因子面板（第 38 页）；让真值离需要估计的截距上限远近不同，比较上限附近的区间（第 8.3 节，第 35–36 页）。

表 1：153 个美国股票特征的集中度与重叠。特征尺子（1962 年 1 月至 2025 年 12 月的平均，经迹标准化）与普通尺子的对比（表 I，第 31 页）。

诊断指标	特征尺子（格拉姆度量）	普通尺子（欧氏度量）
变动最大的方向所占份额	0.132	0.007
变动最大的五个方向所占份额	0.379	0.033
达到总变动 90% 所需方向数	68	138
非对角元素绝对值的均值（不是下文的余弦）	0.114	0.000
最大／最小特征值之比	2,339	1

这说明什么。 普通尺子按构造把 153 个特征视为互不相关，用它来量，达到总变动的 90% 需要 138 个方向；按“选中哪些股票”来衡量，68 个即可（表 I，第 31 页）。以 0 到 1 衡量重叠度：0 表示两个特征给股票打的分毫不同步，1 表示完全同步；这是绝对余弦，不一定是相关系数。多数特征对几乎不重叠（中位数 0.06），但二十对中有一对超过 0.38（第 31 页）。这里未用收益数据：它说明命题 1 的拆分可能在哪里变动，而非变动多少；描述的是暴露的重叠，不是定价风险的个数（第 32 页）。

图 2：把估计出的尺子当作已知，标准误会偏小。同一个点估计，五种标准误算法，简化模拟。

csm_cov_data = FileAttachment("/data/csm_coverage.json").json().catch(() => null)
csm_cov_failed = csm_cov_data === null ? html`<p class="figcaption"><strong>${t("failed")}</strong></p><img src="/assets/img/csm_coverage.png" alt="${LANG === "zh" ? "T = 960 时各标准误算法下 95% 区间的覆盖率（两个所报告的指标，简化模拟）：视尺子为已知时为 89.05% 和 91.75%，计入尺子误差的完整方法为 94.25% 和 94.85%" : "Coverage of 95% intervals by standard-error method at T = 960 for the two reported quantities in a stylised simulation: treating the ruler as known gives 89.05% and 91.75%; the complete method that includes the ruler's error gives 94.25% and 94.85%"}" style="width:100%">` : html``

viewof csm_cov_view = Inputs.radio(new Map(LANG === "zh"
  ? [["95% 区间覆盖率", "coverage95"], ["标准误 ÷ 实际离散度", "se_sd"], ["尾部校准（T = 960）", "qq"]]
  : [["Intervals containing the true value", "coverage95"], ["Standard error ÷ actual spread", "se_sd"], ["Tail calibration (T = 960)", "qq"]]), { value: "coverage95", label: t("view") })

viewof csm_cov_T = Inputs.radio(new Map(LANG === "zh" ? [["T = 240", 240], ["T = 960", 960]] : [["T = 240", 240], ["T = 960", 960]]), { value: 960, label: LANG === "zh" ? "样本长度" : "Sample length", disabled: csm_cov_view === "qq" })

csm_cov_zh = ({ moderate: "中等敏感度指标", high: "高敏感度指标", mc_oracle_scale: "蒙特卡洛实际离散度", oracle_complete_hac: "理想影响函数 HAC", feasible_fixed_metric_hac: "视尺子为已知", feasible_no_cross: "计入尺子误差、不含交叉项", feasible_complete_hac: "完整得分 HAC" })
// EN display names: the paper's Table II labels, with "metric" written as "ruler" (the page's term).
csm_cov_en = ({ moderate: "Moderate-sensitivity quantity", high: "High-sensitivity quantity", feasible_fixed_metric_hac: "Ruler treated as known", feasible_no_cross: "Ruler error, no cross term" })
csm_cov_name = (id, en) => LANG === "zh" ? (csm_cov_zh[id] ?? en) : (csm_cov_en[id] ?? en)
csm_cov_reports = csm_cov_data ? new Map(csm_cov_data.reports.map((r) => [r.id, csm_cov_name(r.id, r.label)])) : new Map()
csm_cov_methods = csm_cov_data ? new Map(csm_cov_data.methods.map((m) => [m.id, csm_cov_name(m.id, m.label)])) : new Map()
csm_cov_order = csm_cov_data ? csm_cov_data.methods.map((m) => csm_cov_name(m.id, m.label)) : []
csm_cov_rows = csm_cov_data ? csm_cov_data.rows.filter((r) => r.T === csm_cov_T).map((r) => ({ ...r, label: csm_cov_methods.get(r.method) ?? r.label, reportLabel: csm_cov_reports.get(r.report), value: r[csm_cov_view] })) : []
csm_cov_known = csm_cov_name("feasible_fixed_metric_hac", "Metric treated as known")
csm_cov_complete = csm_cov_name("feasible_complete_hac", "Complete-score HAC")
csm_cov_qq = csm_cov_data ? csm_cov_data.quantiles.map((q) => ({ ...q, reportLabel: csm_cov_reports.get(q.report), methodLabel: q.method === "feasible_fixed_metric_hac" ? csm_cov_known : csm_cov_complete })) : []

csm_cov_chart = {
  if (!csm_cov_data) return html``
  const repColor = { domain: [csm_cov_reports.get("moderate"), csm_cov_reports.get("high")], range: [palette.complete, palette.qz_ipca], legend: false }
  if (csm_cov_view === "qq") {
    return Plot.plot({
      width: Math.min(width, 640), height: 340, marginLeft: 56, marginBottom: 46, style: { fontFamily: "inherit", fontSize: 12 },
      ariaLabel: LANG === "zh" ? "图 2：T = 960 时标准化指标的尾部校准" : "Figure 2: Tail calibration of the standardised quantities at T = 960",
      ariaDescription: LANG === "zh"
        ? "两个所报告指标的标准化经验分位数与标准正态分位数的对比。视尺子为已知时，两侧尾部都比完整得分曲线离零更远；完整得分曲线贴近对角线。"
        : "Empirical quantiles of the standardised report against standard-normal quantiles for the two reports. With the ruler treated as known, both tails lie farther from zero than the complete-score curves, which stay close to the diagonal.",
      fx: { label: null, domain: [csm_cov_reports.get("moderate"), csm_cov_reports.get("high")] },
      x: { label: LANG === "zh" ? "标准正态分位数" : "Normal quantile", domain: [-2.5, 2.5], labelAnchor: "center", labelOffset: 40 },
      y: { label: LANG === "zh" ? "标准化分位数" : "Standardised quantile", grid: true, domain: [-3.2, 3.2], labelAnchor: "center" },
      color: { domain: [csm_cov_known, csm_cov_complete], range: [palette.qz_ipca, palette.complete], legend: true },
      marks: [
        Plot.line(csm_cov_qq, { fx: "reportLabel", x: "normal", y: "studentized", stroke: "methodLabel", strokeWidth: 1.8 }),
        Plot.line([[-2.4, -2.4], [2.4, 2.4]], { stroke: palette.muted, strokeWidth: 1, strokeDasharray: "4 3" }),
        Plot.tip(csm_cov_qq, Plot.pointer({ fx: "reportLabel", x: "normal", y: "studentized", title: (d) => LANG === "zh" ? `${d.methodLabel}\n概率 ${d.p.toFixed(2)}\n正态 ${fmt2(d.normal)}，标准化 ${fmt2(d.studentized)}` : `${d.methodLabel}\nprobability ${d.p.toFixed(2)}\nnormal ${fmt2(d.normal)}, standardised ${fmt2(d.studentized)}` }))
      ]
    })
  }
  const cov = csm_cov_view === "coverage95"
  return Plot.plot({
    width: Math.min(width, 640), height: 270, marginLeft: width < 500 ? 165 : 185, marginRight: 20, marginBottom: 46, style: { fontFamily: "inherit", fontSize: 12 },
    ariaLabel: LANG === "zh"
      ? `图 2：T = ${csm_cov_T} 时${cov ? " 95% 区间实际包含真值的比例" : "平均标准误与实际离散度之比"}`
      : `Figure 2: ${cov ? "Share of 95% intervals that contain the true value" : "Mean standard error divided by the actual spread across replications"} at T = ${csm_cov_T}`,
    ariaDescription: LANG === "zh" ? "每行一种标准误算法，每个点一个所报告的指标，虚线标出目标值。" : "One row per standard-error method, one point per report, with the target marked by a dashed line.",
    x: { label: cov ? (LANG === "zh" ? "95% 区间实际包含真值的比例（%）" : "Share of 95% intervals containing the true value (%)") : (LANG === "zh" ? "平均标准误 ÷ 各次重复间的实际离散度" : "Mean standard error ÷ actual spread across replications"), domain: cov ? [86, 97] : [0.78, 1.06], labelAnchor: width < 500 ? "right" : "center", labelOffset: 40, grid: true },
    y: { label: null, domain: csm_cov_order },
    color: repColor, symbol: { domain: repColor.domain, range: ["circle", "square"], legend: true },
    marks: [
      Plot.ruleX([cov ? 95 : 1], { stroke: palette.muted, strokeDasharray: "4 3" }),
      ...["moderate", "high"].map((k, i) => Plot.dot(csm_cov_rows.filter((d) => d.report === k), { x: "value", y: "label", fill: "reportLabel", symbol: "reportLabel", r: 5, dy: i ? 4 : -4 })),
      Plot.tip(csm_cov_rows, Plot.pointer({ x: "value", y: "label", title: (d) => `${d.label}, ${d.reportLabel}\nT = ${d.T}\n${cov ? (LANG === "zh" ? "覆盖率 " + d.value.toFixed(2) + "%" : d.value.toFixed(2) + "% coverage") : (LANG === "zh" ? "标准误／实际离散度 " : "standard error ÷ spread ") + d.value.toFixed(3)}` }))
    ]
  })
}

怎么读。每一行是一种标准误算法（表 II，第 34 页）；圆点和方块代表两个所报告的指标，各自衡量某个固定的特征方向与潜在因子有多接近（真值均为 0.5）。最上面两行（“蒙特卡洛实际离散度”“理想影响函数 HAC”）要用只有模拟中才知道的信息。请对比“视尺子为已知”与“完整得分 HAC”两行：后者（HAC：异方差与自相关稳健）是本文的完整方法，计入了尺子的误差。虚线是目标：区间 100 次中有 95 次包含真值，或标准误恰好等于各次重复之间的实际离散度。“尾部校准”视图对比 T = 960 时标准化估计值与标准正态分布的分位数，灰色虚线对角线代表完全吻合。来源：论文表 II、图 2，配对增益见第 8.2 节；rebuilt_interior_coverage.csv、paired_coverage_gains.csv、studentized_quantiles.csv。数据

这说明什么。 在 960 期下，把估计出的尺子当作已知，标准误会偏小，95% 区间每 100 次只有约 89 次和 92 次包含真值。计入尺子的误差后，回到约 94–95 次；配对提升为 5.20 和 3.10 个百分点，蒙特卡洛标准误为 0.50 和 0.39（表 II，第 34 页）。差距主要来自尺子本身的方差（第 8.2 节，第 33 页）；样本只有 240 期时，完整方法和理想方法也只有约 93–94 次包含，源于有限样本的协方差估计误差（第 33 页）。

在需要估计的截距上限附近（论文的简化局部实验，960 期），目标同样是 95% 区间。若始终按上限起作用来校准区间，而上限其实不起作用，实际可能只有约 84 次包含（83.80%）。另一种区间无论上限是否起作用都有效（论文称为漂移稳健区间）：在所检验的每一种距离下，它都有约 96–99 次（96.30%–98.75%）包含真值（表 III，第 36 页）。代价是区间更宽：上限恰好起作用时，它比一个知道真值离上限多远的基准区间宽约 25%（3.241 对 2.584），而这个基准在实际中无法计算（表 III，第 36 页）。

7 与既有文献的比较

因子模型推断通常用一个标准化约束来固定旋转与尺度。本文追问：这一标准化背后的尺子若由数据估计，拆分会受到怎样的影响？

既有研究	已有结论	本文的补充
Bai (2003)；Bai and Ng (2013)	在标准化约束下，为大维近似因子模型建立识别与推断理论。	对每一把尺子，识别出只差潜在因子旋转的载荷，并保留可观测因子与截距两块；理论允许截面规模固定。
Kelly 等 (2019)	IPCA：由特征决定每只股票随潜在因子变动的强弱，模型含截距与可选的可观测因子；旋转用普通尺子固定（Γβ′Γβ = I）。	把这一标准化视为尺子的一种选择，说明拆分取决于它，并把估计出的特征尺子纳入推断。
Newey (1994)；Newey and McFadden (1994)；Andrews and Guggenberger (2009)；Andrews and Soares (2010)	第一步估计的修正；不等式约束可能起作用时的一致有效推断。	把两步修正用于一把既决定拆分、又进入所报告指标的尺子；在单一光滑上限附近，只需两个端点即可得到一致有效的区间。

本文的切入点是怎样衡量，而不是提出新的预测变量。所依据的工具早已为人所知：矩阵流形上的几何、两步估计修正与约束投影。本文的新意在于，把它们用于同一个对象：一种拟合收益的拆分，其尺子由同一批数据估计，还可能同时设定截距的上限。

供专业读者：其他相关文献

矩阵流形上的几何 (Edelman 等 1998) 用来去除潜在因子旋转；边界附近的极限分布 (Geyer 1994; Andrews 1999; Shapiro 2000) 推广到用同一把尺子估计的边界；与 Li (2025) 的自助法不同，本文走解析路线，对局部松弛程度一致有效。

在研究主线中的位置。 较早、范围较宽的《几何框架》主张从数据中取得尺子；本文证明尺子决定同一拟合如何拆分，并给出尺子需要估计时的推断方法。《特征几何》把本文引为配套理论论文，把换尺子一直追到投资组合；《解读定价误差》在表示恒等式处引用本文（第 4 页），并固定尺子来解读阿尔法。求职论文同样把本文引为配套论文，它就特征库与岭惩罚（ridge：按系数平方收费的收缩方法，强度由历史数据调定）提出一个平行的问题；改变特征库，并不是本文意义上的换尺子。

8 适用范围

改进的是对不确定性的衡量，而不是拟合收益（第 8.2 节，第 33 页）。
模拟是简化设计，并非按美国数据校准（第 32–33 页）。
把截距解读为定价误差，需要先设定一个定价模型（第 2 节，第 5 页）。
尺子是一项公开声明的约定；本文不认定哪把尺子最好（第 2 页）。
理论是局部的、强识别的；上限附近只处理一个光滑约束和一个数值指标（第 7.3 节与第 9 节，第 28、38 页）。

参考文献

Andrews, Donald W. K. 1999. “Estimation When a Parameter Is on a Boundary.” Econometrica 67 (6): 1341–83. https://doi.org/10.1111/1468-0262.00082.

Andrews, Donald W. K., and Patrik Guggenberger. 2009. “Validity of Subsampling and ‘Plug-in Asymptotic’ Inference for Parameters Defined by Moment Inequalities.” Econometric Theory 25 (3): 669–709. https://doi.org/10.1017/S0266466608090257.

Andrews, Donald W. K., and Gustavo Soares. 2010. “Inference for Parameters Defined by Moment Inequalities Using Generalized Moment Selection.” Econometrica 78 (1): 119–57. https://doi.org/10.3982/ECTA7502.

Bai, Jushan. 2003. “Inferential Theory for Factor Models of Large Dimensions.” Econometrica 71 (1): 135–71. https://doi.org/10.1111/1468-0262.00392.

Bai, Jushan, and Serena Ng. 2013. “Principal Components Estimation and Identification of Static Factors.” Journal of Econometrics 176 (1): 18–29. https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2013.03.007.

Edelman, Alan, Tomás A. Arias, and Steven T. Smith. 1998. “The Geometry of Algorithms with Orthogonality Constraints.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (2): 303–53. https://doi.org/10.1137/S0895479895290954.

Geyer, Charles J. 1994. “On the Asymptotics of Constrained M-Estimation.” The Annals of Statistics 22 (4): 1993–2010. https://doi.org/10.1214/aos/1176325768.

Kelly, Bryan T., Seth Pruitt, and Yinan Su. 2019. “Characteristics Are Covariances: A Unified Model of Risk and Return.” Journal of Financial Economics 134 (3): 501–24. https://doi.org/10.1016/j.jfineco.2019.05.001.

Li, Jessie. 2025. “The Proximal Bootstrap for Constrained Estimators.” Journal of Statistical Planning and Inference 236: 106245. https://doi.org/10.1016/j.jspi.2024.106245.

Newey, Whitney K. 1994. “The Asymptotic Variance of Semiparametric Estimators.” Econometrica 62 (6): 1349–82. https://doi.org/10.2307/2951752.

Newey, Whitney K., and Daniel McFadden. 1994. “Large Sample Estimation and Hypothesis Testing.” In Handbook of Econometrics, edited by Robert F. Engle and Daniel L. McFadden, vol. 4. Elsevier. https://doi.org/10.1016/S1573-4412(05)80005-4.

Shapiro, Alexander. 2000. “On the Asymptotics of Constrained Local M-Estimators.” The Annals of Statistics 28 (3): 948–60. https://doi.org/10.1214/aos/1015952006.

使用许可

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引用

BibTeX

@report{liu2026metrics,
  author = {Liu, Mingyang},
  title = {Characteristic-Space Metrics in Factor Models: Identification
    and Inference},
  date = {2026-09},
  url = {https://yl7919.github.io/zh/research/characteristic-space-metrics.html},
  doi = {10.2139/ssrn.7445120},
  langid = {zh}
}

请按如下格式引用：

Liu, Mingyang. 2026. Characteristic-Space Metrics in Factor Models: Identification and Inference. SSRN preprint. https://doi.org/10.2139/ssrn.7445120.