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Same Forecasts, Different Portfolios: Factor Normalization and Regularization
同一个因子模型的两个版本预测相同；当因子暴露上的惩罚写在各自的单位里时，它们为什么会持有不同的投资组合？用上模型本来就估计出的截距，又能多带来什么？
工作论文，2026 年 10 月 · 共 116 页（英文）：正文 46 页，网络附录 70 页（页码记为 IA-1 至 IA-70）· 尚未在 SSRN 发布，暂无 DOI · 页码均指上方论文
同一个因子模型的两个版本，可以给出相同的股票收益预测，却持有不同的投资组合。原因在于组合规则给每个因子的方差都加上一个小常数（岭项，论文称之为因子惩罚）：它按组合在每个因子上押注多少收费，而押注的多少按各版本各自采用的单位计量，于是同一个数就成了两种不同的惩罚（式 6，第 11 页）。在 594 个月中，两个版本的股票预测相对差距的中位数只有百万分之 4.8（表 II，第 24 页）。然而在同一个惩罚数值下，它们未计交易成本的夏普比率（每单位波动获得的平均超额收益）分别为 0.69 和 1.07（表 I，第 19 页）。把惩罚写在同一套单位里，就只剩一个组合；去掉惩罚，两个版本的夏普比率都是 1.62。
构建组合既需要风险惩罚，也需要收益预测；第二项结果转向收益预测。同类模型还可以估计截距，即预期收益中没有被任何因子解释的那部分。使用包含截距的完整拟合均值，所得组合未计交易成本的夏普比率为 2.51，几乎不随惩罚变化。它相对不含截距的最佳组合的增益为 0.89，95% 区间为 [0.59, 1.26]；按每交易一美元收取 25 个基点扣除成本后，增益为 0.57 [0.29, 0.89]（表 III，第 30 页）。2007 年 10 月以来，扣除成本后的优势，其区间包含零（第 7、39 页）。
1 研究问题
在整个研究主线中，本文追问的是：预测相同，组合为何不同？《解读定价误差》追问模型的阿尔法意味着什么；本文则从解读模型转向依据模型行动。随后，《尺子很重要》固定目标再追问：目标相同，持仓为何不同？
同一个因子模型的两个版本预测相同，只是用不同的尺子衡量因子暴露，它们会让投资者持有同样的股票吗？把模型本来就估计出的截距也用上，又能多带来什么？
要说清一只股票的预期收益有多少归功于哪个驱动因素，模型得先判断两个特征方向是否真的不同、各自有多大。做这个判断的规则，就是尺子；严格地说，即特征空间上的一种度量（内积）。给每个特征一个权重再相加，每只股票就得到一个分数；这样的加权组合称为特征方向（它不是投资组合）。股票在某个特征方向上的得分，或随某个因子变动的强弱，就是它的暴露。普通尺子（欧氏度量）只看方向的权重本身；特征尺子（格拉姆度量，由特征的格拉姆矩阵构造，即各特征两两乘积在股票之间的平均）则看这个方向给真实股票打出的分数：分数通常有多大，两个方向的分数在股票之间是否同高同低。换句话说，尺子是模型用来衡量一个特征方向有多大、两个特征方向重叠多少的规则。两个价值信号若总是选中同一批便宜的股票，特征尺子会把它们算作重叠，普通尺子却把它们当作互不相关。
本文比较同一因子模型分别估计的两个版本，它们只在尺子上不同。工具化主成分分析（IPCA）是一种标准的条件因子模型，由特征决定每只股票的因子载荷，即股票随共同驱动因素变动的强弱 (Kelly 等 2019)。它的潜在因子（模型从数据中推断的共同驱动因素）没有天然的单位，模型必须把单位定下来，论文称这一选择为标准化（normalization）。用普通尺子来定，就是欧氏标准化，也就是 IPCA 的常用约束；用特征尺子来定，就是格拉姆标准化，所用的正是《特征空间度量》的度量 (Liu 2026b)（式 2–3 与脚注 3，第 10 页）。第三个拟合还加入了截距：本模型中没有被任何因子解释的那部分预期收益（与首页所说的“阿尔法”相近，但阿尔法是相对于某个指定基准模型而言的）。它就是《几何框架》中的无套利 IPCA（NA-IPCA）(Liu 2026a)，名称中的“无套利”指截距可承载内容的上限；在本文的每个日期，这一上限都不起作用（脚注 3，第 10 页）。
2 为什么重要
比较因子模型时，人们常看各自组合的夏普比率；但组合是预测经过风险矩阵加工的结果，而风险矩阵里的设定写在模型自己的单位里。如果某项设定本身就能改变持仓，基金经理换用或重新估计风险模型、看到新的头寸，就可能误以为出现了新信号，其实预测并没有变。
- 经济含义。 同一个惩罚数值，会左右不同模型族之间的比较。在参考惩罚下，风险溢价主成分分析（RP-PCA，另一种提取因子的方法）未计交易成本的夏普比率为 1.49，普通尺子下的 IPCA 为 0.69。去掉惩罚，0.80 的差距变为 −0.08，区间为 [−0.44, 0.26]（表 I，第 19 页；表 II，第 24 页）。
- 实务含义。 为数值稳定而加在因子方差上的常数，其实是对因子暴露的惩罚。把它写在同一套单位里，或者直接写在个股头寸上，换一种标准化就不会改变组合（命题 1，第 12 页）。论文给出的设计准则是：写明惩罚、惩罚所用的单位，以及组合用了拟合均值的哪一部分（第 43 页）。
- 统计含义。 参考惩罚约为普通尺子单位下因子方差中位数的 11 倍、特征尺子单位下的 27 倍。不加惩罚，因子协方差矩阵本来就可逆（最小特征值 3.1 × 10⁻⁵），所以这个常数并非为可逆性所必需（网络附录 IA.E.2，第 IA-22 页）。
3 论证脉络
- 问题。 投资者持有的是组合而不是预测，所以比较模型必须一直追到持仓。→ 研究问题
- 框架。 潜在因子的单位只是一种约定：把某个因子放大一倍、载荷减半，每个拟合收益都不变（第 11 页）。分别估计的两个版本预测几乎相同，相对差距的中位数为百万分之 4.8。→ 理论框架
- 机制。 规则加在因子方差上的常数，按各版本自己的单位对因子暴露收费，同一个数压低的就是不同的个股头寸。→ 一个简单例子
- 证据。 在参考惩罚下，两个版本持有不同的股票，未计交易成本的夏普比率分别为 0.69 和 1.07。→ 图 2
- 补救。 把惩罚写在同一套单位里，就只剩一个组合（“1 减权重相似度”的月度中位数为 1.0 × 10⁻¹¹）；去掉惩罚，两个版本都是 1.62（未计交易成本）。→ 表 1
- 第二项结果。 在同一个拟合内使用含截距的完整拟合均值，未计交易成本的夏普比率为 2.51，几乎不随惩罚变化，比不含截距的最佳组合高 0.89。→ 图 3
- 边界。 写明惩罚、惩罚的单位和所用的均值输入。边界是：除非另有说明，收益未计交易成本；成本按比例计算；未证明截距是错误定价；2007 年以后扣除成本后的优势尚无定论；也没有证明哪把尺子或哪种惩罚强度最好。→ 适用范围
4 理论框架
组合规则在某个因子的预测相对其估计风险较高时，就多持有这个因子。在对因子风险求逆之前，它给每个因子的方差加上一个小常数（0.01，即岭项：为数值稳定加在因子风险上的小常数，论文称之为因子惩罚），让规则对每个因子都少持有一点。这个常数按因子载荷报告时所用的单位，对组合在每个因子上的暴露收费；所以换尺子，就改变了每个个股头寸被压低的程度（式 6，第 11 页）。
换尺子是一次匹配的单位换算：每个拟合收益和残差都不变，载荷被重新缩放，重叠部分则在潜在因子、法玛–弗伦奇可观测因子与截距之间挪动（命题 1，第 12 页）。在组合规则的各项输入中，只有惩罚会变：把某个因子放大一倍、载荷减半，同一个惩罚落在这个因子上就只剩四分之一（第 11、13 页）。命题 1 给出两个版本之间的换算关系，并表明：当且仅当惩罚写在同一套单位里时，两个版本加了惩罚的组合才会相同。写法有两种：在一把尺子下选定后换算到另一把尺子，或者直接写在个股头寸上。两种写法都不规定惩罚应当多大，因为每种标准化下的拟合都相同，拟合本身无从选择惩罚（命题 1，第 12 页；第 13 页）。
截距从收益输入这一端进入。惩罚只通过因子暴露作用于组合。只用因子均值构建的组合，全部预测都要经由这些暴露实现；加入截距，则增加了一些头寸，其预期收益并不由因子块承载，惩罚因此几乎触及不到它们（引理 1，第 14–15 页）。
附注：本文特征尺子的逐月统计量。本文所用的特征尺子，是各窗口格拉姆矩阵的指数加权移动平均（EWMA），半衰期为 60 个月（第 17 页）。它在论文的 618 个组合构建月中逐月重新估计。正文使用其中 1975 年 6 月起的 594 个月。其参与维数（这些特征大致相当于多少个同等大小的变动方向）在 17.36 至 22.63 之间。它的中位数为 19.83。变动最大的方向所占份额（最大特征值占迹的比例）在 11.76% 至 15.21% 之间。两个区间均见网络附录表 IA.L.1（第 IA-62 页）。这两个统计量都不是定价风险的个数；尺子只通过因子惩罚影响组合（第 IA-61 页）。数据：论文研究文件（未公开）中的 rolling_geometry.csv。首页图 1 是针对含 153 个特征的特征库所作的另一项描述性展示，并非取自本文。文件与流程见数据与代码。
技术细节
模型把股票 i 下月的超额收益写成（式 1，第 9 页）
r_{i,s+1} = z_{i,s}'\Gamma_\beta f_{s+1} + z_{i,s}'\Gamma_\delta g_{s+1} + z_{i,s}'\Gamma_\alpha + \varepsilon_{i,s+1}.
其中 z_{i,s} 为 132 个特征，f 为三个潜在因子，g 为法玛–弗伦奇五因子；各个 \Gamma 把特征映射为载荷，IPCA 令 \Gamma_\alpha = 0。以度量 Q 做标准化，就是施加 \Gamma_\beta' Q \Gamma_\beta = I_K 与 \Gamma_\beta' Q [\Gamma_\delta, \Gamma_\alpha] = 0：普通尺子取 Q = I_L，特征尺子取窗口内格拉姆矩阵 W_s = Z_s'Z_s/N_s 的平均（式 2–3，第 10 页）。含截距的拟合还把股票层面截距平方的平均值限制在 0.035 以内；这一上限在每个日期都不起作用，618 个滚动拟合中的最大值为 1.5 × 10⁻⁴（脚注 3，第 10 页）。
记 B_t 为股票的因子暴露，\hat\mu_t 为预测，A_{0,t} 为不含因子惩罚的风险矩阵（其中保留一项直接写在个股头寸上的惩罚 \lambda_\Sigma = 0.01），组合求解（式 6，第 11 页）
\max_w \; w'\hat\mu_t \;-\; \tfrac12\, w'A_{0,t}\, w \;-\; \tfrac{\lambda}{2}\,\lVert B_t'w\rVert^2 .
换一种标准化，相当于 B \to BJ^{-1}。加在两个因子协方差上的调整 R 与 R^Q，当且仅当 R^Q = JRJ' 时，才给出相同的个股风险矩阵，从而对任何预期收益向量给出相同的组合；对 R = R^Q = \lambda I（\lambda > 0），这一条件当且仅当 J 为正交矩阵时成立，而从普通尺子到特征尺子的换算，只有在两种度量对潜在载荷本已一致时才是正交的（命题 1，第 12 页；第 13 页）。对任意预期收益向量，惩罚按 B'w_\lambda = (I+\lambda M)^{-1}B'w_0 收缩组合的因子暴露，其中 M = B'A_0^{-1}B；不加惩罚时，截距组合在每种标准化下都相同（引理 1，第 14–15 页）。
5 一个简单例子
试一试。 这里，k 决定尺子的单位：k = 2 表示把因子放大一倍、把股票载荷减半，预测保持不变（第 11、13 页）。（1）k = 1 时，两只股票各占一半。（2）把 k 拖到 2：表中第 1、2 行不动，只有第 3 行的岭项收费从 0.0100 降到 0.0025，因为载荷减半，而收费按载荷的平方计算；股票 1 的占比随之升到 54%。（3）把 k 拖到 0.25：收费增至原来的 16 倍，股票 1 的占比降到 20%。（4）选择“让岭项随单位换算”（论文称之为把惩罚写在同一套单位里）：圆点移到虚线上，无论 k 取何值都是 50%；选择“去掉因子岭项”，这里同样是 50%。请留意：股票本身什么都没变，变的只是一个固定常数按什么单位收费。示例中的两个因子互相独立；在论文的两因子例子里，惩罚会让组合偏向在惩罚所用单位下方差较大的那个因子（第 13 页）。
图 1：预测相同、风险相同，岭项收费却不同。两只股票；只改变因子 1 的单位，其余一概不变。
怎么读。股票 1 只随因子 1 变动（因子 1 的均值为 0.01、方差为 0.02，股票 1 的载荷为 1）；股票 2 随另一个独立因子变动，其单位始终不变。每只股票的特质方差为 0.01，另有一项直接写在个股头寸上的惩罚，也为 0.01。让岭项随单位换算，是论文提出的补救办法，原文称之为把惩罚写在同一套单位里（writing the penalty in one set of units）；去掉惩罚，则是论文的另一个基准（命题 1，第 12 页；表 IA.A.1，第 IA-4 页）。来源：对论文组合规则的示意性算术推演（式 6，第 11 页）；不涉及数据文件。
两位厨师按同一份配方做面包，一位用“碗”量面粉，另一位用“半碗”。配方里还有一句“每一份面粉加一撮盐”：盐按“份”放，于是用半碗计量的厨师放的盐更多，面粉却一样。差别出在规则的写法上，不在原料。补救办法有两个：去掉这条规则，或者让它随单位一起换算。在论文里，面粉对应预测，“份”由尺子决定，那撮盐就是加在每个因子方差上的 0.01 惩罚。这个比方也有局限：惩罚不像盐那样是额外的原料，而是一种收费，让规则少持有每个因子；这种收费还随暴露的平方增长；另外，真实的换尺子还会混合各项暴露。
6 研究设计与主要结果
数据为 Jensen、Kelly 与 Pedersen 整理的美国股票月度收益和 132 个特征 (Jensen 等 2023)，股票池包括超大盘、大盘和小盘股（剔除微型股），特征每月按横截面排名缩放（第 III.A 节，第 16 页）。每个月，各模型都以此前 120 个月为窗口重新估计，组合持有一个月；组合构建月共 594 个，从 1975 年 6 月到 2024 年 11 月（第 16–17 页）。每个 IPCA 拟合含三个潜在因子，并以法玛–弗伦奇五因子作为可观测因子 (Fama and French 2015)。所有模型都按同一条均值–方差规则给个股定权重，每月把头寸缩放到多空头寸总规模为 1（论文称为单位总敞口）（第 17–18 页）。因子惩罚取 0 至 0.1 的六个值，以 0.01 为参考惩罚（第 17 页）。区间为逐点 95% 区间，来自配对的移动区块自助法（区块 12 个月，重抽样 10,000 次），拟合模型保持固定（第 III.D 节，第 20 页）。除非另有说明，夏普比率均为年化、未计交易成本；成本按每交易一美元多少个基点计算（1 个基点为 0.01 个百分点）。
1. 预测相同，持仓不同。 如果单位无关紧要，两个版本应当持有同样的股票。事实并非如此：在参考惩罚下、按各自的单位计算时，两组权重的“1 减相似度”中位数为 0.17，权重之间的典型距离超过总头寸的一半（第 21 页；表 II，第 24 页）。
表 1：预测一致；只有把惩罚写在同一套单位里，持仓才一致。IPCA 的两个版本（普通尺子与特征尺子），594 个月。
| 比较 | 1 减权重相似度：中位数（最大值） | 两者之间的距离：中位数（最大值） |
|---|---|---|
| 股票预测（相对差距） | — | 4.8 × 10⁻⁶（1.4 × 10⁻⁴） |
| 参考惩罚，写在各自的单位里 | 0.17（0.55） | 0.58（1.04） |
| 特征尺子拟合，惩罚写在普通尺子单位里 | 1.0 × 10⁻¹¹（1.4 × 10⁻⁹） | 4.5 × 10⁻⁶（5.2 × 10⁻⁵） |
| 普通尺子拟合，惩罚写在特征尺子单位里 | 4.8 × 10⁻¹²（2.6 × 10⁻⁹） | 3.1 × 10⁻⁶（6.9 × 10⁻⁵） |
| 两者都去掉惩罚 | 6.2 × 10⁻¹²（4.6 × 10⁻⁹） | 3.5 × 10⁻⁶（9.4 × 10⁻⁵） |
权重相似度即两组权重向量的余弦，“1 减相似度”为 0 表示配置比例完全相同。距离是两个组合权重之差的绝对值之和，两组权重都已缩放到总头寸为 1，因此取值在 0 到 2 之间。预测的相对差距，是两个预测之差相对普通尺子预测的大小（表 II A 栏，第 24 页）。
两个版本是分别估计的，所以这种一致是实际测得的，并非由构造保证。把参考惩罚写在同一套单位里，就只剩一个组合，收益也随权重一致：惩罚写在普通尺子单位里的特征尺子拟合，夏普比率正是普通尺子拟合的 0.69（第 22 页；表 I，第 19 页）。可见持仓差距完全来自同一个惩罚写在两套单位里。
2. 惩罚的大小，以及跨模型族的比较。 图 2 把惩罚从 0 调到参考值的十倍。
图 2：同一个模型，两把尺子，一个惩罚数值。沿因子惩罚变化的夏普比率（未计交易成本），594 个月，1975 年 6 月至 2024 年 11 月（图 1、图 3，第 4、26 页）。
怎么读。每条线是一个组合在因子惩罚 λ 六个取值上的夏普比率；最左边的刻度 λ = 0 在对数坐标上单独画出，虚线标出参考惩罚 0.01。带状区域为逐点 95% 区间，拟合模型保持固定；块长菜单只改变带状区域，读数引用论文的 12 个月区块区间。选择“同一套单位里”时，图中画出的是惩罚写在普通尺子单位里、两把尺子共同持有的那一个组合：论文在 λ = 0 和参考惩罚处直接计算（圆圈），其余各点由命题 1 得出（†）。RP-PCA 与 FF5（法玛–弗伦奇五因子，载荷以特征为工具）按同一规则重新求解（表 I，第 19 页；第 IV.D 节，第 25 页）。来源：《预测相同，组合不同》工作论文（2026 年 10 月）图 1（第 4 页）、图 3（第 26 页）与表 I–II（第 19、24 页）；复现文件
10_sharpe_by_lambda_594.csv、10_contrasts_594.csv、13_ladder_594.csv、13_holdings_594.json。 数据 · PNG
这说明什么。 惩罚的大小比它的单位更能左右夏普比率：两个版本去掉惩罚时都是 1.62；到 λ = 0.1 时，普通尺子降到 0.30，特征尺子降到 1.00（表 I，第 19 页）。去掉参考惩罚，普通尺子的夏普比率提高 0.93 [0.61, 1.25]，特征尺子提高 0.55 [0.35, 0.77]（表 II C 栏，第 24 页）。在单一惩罚数值上做排名，衡量的其实是惩罚：RP-PCA 相对普通尺子 IPCA 的领先，从去掉惩罚时的 −0.08 升到 λ = 0.1 时的 1.03，而 RP-PCA 自身的夏普比率变化不大（表 II，第 24 页；第 25 页）。数据驱动的收缩也消除不了这种依赖：在各自单位下做 Ledoit–Wolf 收缩 (Ledoit and Wolf 2004)，两个版本分别为 1.17 和 1.54（表 II，第 24 页）。
3. 模型本来就估计出的截距。 第二项结果固定一个含截距的 IPCA 拟合，只改变预期收益这一项输入：只用因子均值（因子均值组合），或用包含截距的完整拟合均值（截距组合）。两者使用同一个风险矩阵（含惩罚），也不重新估计任何模型（第 V.A 节，第 27–28 页）。不依赖尺子的基准，是不含截距的最佳组合：去掉惩罚的 IPCA，在两把尺子下相同，夏普比率为 1.62（第 14、28 页）。
图 3：同一个拟合，两种均值输入。截距组合与同一拟合的因子均值组合沿因子惩罚变化的夏普比率，594 个月（图 4，第 29 页；表 III，第 30 页）。
怎么读。粗线为所选的均值输入；虚线为不含截距的最佳组合（去掉惩罚的 IPCA，λ = 0）。未计交易成本时的带状区域为 12 个月区块的逐点 95% 区间。扣费视图按每交易一美元（买入加卖出）收取 25 个基点；这是比例成本，不含价格冲击、融资、融券费用与容量限制，并非可实现的扣费后收益（表 III，第 30 页；脚注 23，第 40 页）。来源：《预测相同，组合不同》工作论文（2026 年 10 月）表 III（第 30 页）、图 4（第 29 页）与表 I（第 19 页）；复现文件
14_table3_594.csv、14_intercept_curve_594.csv、15_net_by_lambda_594.csv、15_contrasts_594.csv、13_ladder_594.csv。 数据 · PNG
这说明什么。 因子均值组合的表现与图 2 中的组合相似：去掉惩罚时为 0.56，参考惩罚下为 0.39。截距组合几乎不动：去掉惩罚时为 2.50，在每个正的惩罚值下都是 2.51（表 III，第 30 页）。它比不含截距的最佳组合高 0.89 [0.59, 1.26]，这是它相对各比较组合的增益中最小的一个；按 25 个基点扣除成本后，两者分别为 1.60 和 1.03（表 III，第 30 页；表 I，第 19 页）。这一增益依赖于拟合截距在股票之间的分配：每月把截距在股票之间随机打乱，夏普比率平均只剩 0.04，1,000 次打乱中从未超过 0.30（第 29 页；表 IA.M.1，第 IA-65 页）。
4. 增益从哪里来，又能持续多久。 相对不含截距的最佳组合，增益主要来自每美元头寸更低的波动，而不是均值可靠地更高：截距组合的年化均值为 7.6%，基准为 6.6%，差距在抽样误差之内；年化波动率则分别为 3.0% 和 4.1%（第 33–35 页）。在 0.89 的增益中，0.66 来自波动，0.23 来自均值；这一拆分只作描述，且取决于拆分顺序（脚注 21，第 35 页）。对该基准和法玛–弗伦奇五因子回归，截距组合在基准上的载荷为 0.45，年化阿尔法为 4.9%（表 V，第 38 页）。它的盈亏平衡成本（使扣费后平均收益恰好为零的每美元交易成本）为 68 个基点，与基准相同（表 IV，第 35 页）。推迟一个月交易，它的夏普比率从 2.51 降到 1.52，基准从 1.62 降到 1.07（表 III C 栏，第 30 页）。从样本的前三分之一到后三分之一，它的夏普比率从 3.95 降到 1.11，基准的降幅与之相当（第 39 页）。2007 年 10 月以来（206 个月），按 25 个基点扣除成本后，它相对基准的优势为 0.19，区间为 [−0.41, 0.75]：数据分不清这是增益还是损失（第 39 页；表 IA.I.2，第 IA-44 页）。增益中有相当部分是短期溢价：把截距在一组短期收益与交易活跃度特征上的载荷设为零，未计交易成本的夏普比率降到 1.81，增益只剩 0.19 [−0.17, 0.53]（第 41 页）。
网络附录中的比较。 图 4 保留了本站此前根据论文 2026 年 9 月研究发布包制作的一幅交互图。图中的数字属于网络附录，标签也沿用论文定名之前的叫法：QZ-IPCA 即特征尺子下的 IPCA，NA-IPCA 即含截距的 IPCA（脚注 3，第 10 页）；“关闭截距”即因子均值组合，“仅均值”即截距组合，“完整截距规则”即稳定化截距组合，它还按截距载荷在此前 24 次估计中的变动幅度额外收费（第 IA-33 页）。图中的“核心股票池”即论文的全部股票：剔除微型股后的美国股票（第 16 页）。
图 4：网络附录中的比较：持仓不同，还不等于可靠的收益优势。按月复利的累计收益，头寸缩放至多空头寸总规模为 1，1973 年 6 月至 2024 年 11 月；截距视图为 1975 年 6 月起的 594 个月。
怎么读。“跨模型比较”：618 个月，参考惩罚下 IPCA 为 0.64，RP-PCA 为 1.48，FF5 为 0.68（表 IA.E.3，第 IA-25 页）；特征尺子的滚动 60 个月版本为 1.00（表 IA.E.6，第 IA-29 页）；稳定化截距组合为 2.4926，因子均值组合为 0.32（表 IA.G.4，第 IA-36 页）。“关闭截距与完整截距规则”：594 个月，按市值分组比较（表 IA.I.3–IA.I.4，第 IA-46–IA-47 页）。“同一拟合，三种输入”：594 个月，三者分别为 0.3917、2.5126 和 2.5347；截距组合的月均收益比因子均值组合高 48.69 个基点，区间为 [34.66, 63.36]（表 IA.G.1，第 IA-35 页）；618 个月的柱状图见表 IA.G.4（第 IA-36 页）。默认未计交易成本；10 和 50 个基点的视图以及盈亏平衡成本一栏，按单边换手率扣除本站自行计算的代理成本，并非论文的成本模型，也不是可实现的扣费后收益。来源：《预测相同，组合不同》工作论文（2026 年 10 月）网络附录；研究发布包 2026-09-09，
core_monthly_unitgross_returns_source.csv、core_model_performance_618.csv、iab_ra_monthly.csv、beta_only_monthly.csv、Strict24_Main_Performance.csv、Strict24_Paired_Inference.csv、ablation_summary.csv、nber_monthly.csv；发布包未公开；路径由本站复利计算，仅作描述。 数据 · PNG
这说明什么。 在全部 618 个月中，排序与正文相同：截距组合居首，因子均值组合垫底。参考惩罚下特征尺子相对普通尺子的领先在这里较小，EWMA 版本为 0.27 [−0.02, 0.58]，区间包含零（表 IA.E.6，第 IA-29 页；脚注 1，第 4 页）。在 594 个月中，稳定化项使夏普比率提高 0.0222 [0.0100, 0.0355]，均值不变（表 IA.G.1，第 IA-35 页）。2007 年 10 月以来（206 个月），稳定化截距组合的月均收益比因子均值组合高 0.202 个百分点，区间为 [−0.071, 0.409]：数据分不清这是增益还是损失（表 IA.I.3，第 IA-46 页）。
7 与既有文献的比较
一类文献用大量特征估计因子模型，另一类为组合选择对风险估计做正则化。本文研究的是两者之间的那一步：因子模型的预测和风险怎样变成投资组合。
| 既有文献 | 已有结论 | 本文的补充 |
|---|---|---|
| Kelly 等 (2019) | 以特征为工具刻画时变的因子载荷（IPCA）；纳入若干潜在因子后，零截距不被拒绝 | IPCA 留给使用者自定的标准化，决定了因子协方差上任何惩罚的单位；本文把截距用作组合输入，回答的是与其检验不同的问题（第 V.C 节，第 31 页） |
| Jagannathan and Ma (2003)；Ledoit and Wolf (2004)；Ledoit and Wolf (2017) | 组合约束与收缩相当于对协方差做正则化，可以改进组合选择 | 因子方差上的常数是一种个股层面的惩罚；除非写在同一套单位里，其大小取决于标准化；向单位矩阵收缩同样带有这种依赖 |
| Lettau and Pelger (2020) | 风险溢价主成分分析提取的因子同时兼顾平均收益 | 在同一规则下，它在参考惩罚处相对普通尺子 IPCA 领先 0.80，去掉惩罚则为 −0.08：这一比较衡量的是惩罚（表 II，第 24 页） |
| Kelly 等 (2023) | 由信号构建的组合可以把阿尔法与因子暴露分开 | 截距组合的收益大多来自因子块之外，无需显式对冲；但它并非因子中性（载荷 0.45；表 V，第 38 页） |
夏普比率 2.5 与 Kelly、Pruitt 和 Su 的结论可以并存：在他们的检验中，这个模型的截距与零无法区分。两者回答的是不同的问题。他们的检验问的是：截距载荷（每个特征一个）合在一起是否足够大；组合问的是：按风险矩阵之逆加权、在约两千只股票上加总的截距，每单位风险是否带来平均收益。即使前者不大，后者也可以很大（第 V.C 节，第 31 页）。
《几何框架》与《特征空间度量》表明，尺子决定拟合如何拆分，而不改变拟合本身。本文的特征尺子取自《特征空间度量》，含截距的拟合 NA-IPCA 取自《几何框架》（脚注 3，第 10 页）；本文把尺子单位的变化一直追到投资组合，发现它只通过写在这些单位里的惩罚起作用。《尺子很重要》直接在股票上计量这把尺子，追问模型的因子代表了哪些熟悉的头寸，以及用它们对冲需要付出什么。
《解读定价误差》与《预测相同，组合不同》都在问模型“剩下的部分”值多少，但场景不同。前者把一个基于特征的模型的阿尔法成分适度调小（按估计出的比例只保留其中一部分），使平方误差损失下的预测更准；后者在同一次 NA-IPCA 拟合内，把截距纳入预期收益，衡量未计交易成本的组合夏普比率。两者的模型、目标和样本都不同，因此既不相互印证，也不相互矛盾。
所依据的工具早已为人所知。本文的新意在于一项检验和一项度量：只改变固定因子惩罚的单位时，持仓会不会随之改变，以及消除这种依赖的换算；使用完整拟合均值，又如何改变组合对同一惩罚的敏感程度（第 8 页）。它是一项检验，而不是新的估计方法。
8 适用范围
- 除非另有说明，均未计交易成本。 扣费数字按每交易一美元（买入加卖出）收取 25 个基点，这是比例成本，不含价格冲击、融资、融券费用与容量限制（脚注 23，第 40 页）。这些结果是基于模型配置的条件性证据，并非经过核实、可实际执行的交易策略：股票只有在下月收益有记录时才进入当月样本，各特征的时点可得性也未经独立核实（第 7 页；脚注 7，第 16 页）。
- 逐点区间。 区间以滚动拟合为固定条件，也不是跨惩罚值或跨组合的联合区间。正文选用 594 个月样本和不带稳定化项的截距组合，是在两种样本、两种规则都算完之后作出的选择，区间没有为此调整（脚注 2，第 6 页；脚注 12，第 20 页）。在全部 618 个月中，两把尺子之间相应的差值为 0.27，其区间包含零（脚注 1，第 4 页；表 IA.E.6，第 IA-29 页）。
- 一个模型，而非模型族。 命题 1 联系的是同一模型的两种标准化；它说明惩罚应如何在两者之间换算，而不规定惩罚强度，也不把预测本就不同的模型族等同起来（第 4、13 页）。
- 未证明截距是错误定价。 截距是拟合均值中因子块未吸收的部分；它反映的是定价误差、遗漏因子还是条件动态，本文不作预设，其阿尔法只是相对于所列回归变量的残差（第 5–7 页；脚注 18，第 27 页）。
- 没有最好的尺子或惩罚。 两把尺子的排名随惩罚而变，而拟合本身无法选出惩罚（第 13、23 页）。在本样本中，因子协方差并不需要收缩；不依赖样本的设计准则，是把任何惩罚都写在个股单位里（第 26 页）。
参考文献
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Jagannathan, Ravi, and Tongshu Ma. 2003. “Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps.” Journal of Finance 58 (4): 1651–83. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/1540-6261.00580.
Jensen, Theis Ingerslev, Bryan Kelly, and Lasse Heje Pedersen. 2023. “Is There a Replication Crisis in Finance?” Journal of Finance 78 (5): 2465–518. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/jofi.13249.
Kelly, Bryan T., Seth Pruitt, and Yinan Su. 2019. “Characteristics Are Covariances: A Unified Model of Risk and Return.” Journal of Financial Economics 134 (3): 501–24. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0304405X19301151.
Kelly, Bryan, Semyon Malamud, and Lasse Heje Pedersen. 2023. “Principal Portfolios.” Journal of Finance 78 (1): 347–87. https://doi.org/10.1111/jofi.13199.
Ledoit, Olivier, and Michael Wolf. 2004. “A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices.” Journal of Multivariate Analysis 88 (2): 365–411. https://doi.org/10.1016/S0047-259X(03)00096-4.
Ledoit, Olivier, and Michael Wolf. 2017. “Nonlinear Shrinkage of the Covariance Matrix for Portfolio Selection: Markowitz Meets Goldilocks.” Review of Financial Studies 30 (12): 4349–88. https://academic.oup.com/rfs/article-abstract/30/12/4349/3863121.
Lettau, Martin, and Markus Pelger. 2020. “Estimating Latent Asset-Pricing Factors.” Journal of Econometrics 218 (1): 1–31. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0304407620300051.
Liu, Mingyang. 2026a. A Geometric Framework for Identification in Characteristic-Based Factor Models. https://doi.org/10.2139/ssrn.7013178.
Liu, Mingyang. 2026b. Characteristic-Space Metrics in Factor Models: Identification and Inference. https://doi.org/10.2139/ssrn.7445120.
引用
BibTeX
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请按如下格式引用：
Liu, Mingyang. 2026. Same Forecasts, Different Portfolios: Factor
Normalization and Regularization. Working paper. Imperial Business
School, Imperial College London. https://mingyangliu.org/zh/research/same-forecasts-different-portfolios.html.